Matematické Fórum

lukaszh

Zdravím,

už dávnejšie sa tu riešila zaujímavá úloha. Pri plávaní po internete som si na ňu spomenul a nebol som veľmi spokojný, že zostala otvorená. Úlohu som začal riešiť, ale čisto z geometrického hľadiska. Bol by som rád, keby niekto pridal ucelené riešenie k tejto úlohe, lebo ma skutočne veľmi zaujala. Podobne ako na stránkach p. Maříka, kde ťaháme psa na lane :-) Skutočne pekné využitie dif. počtu.

Začal som uvažovať nasledovne:
(1) Predpokladám, že všetky trajektórie budú mať rovnaký tvar, len budú stočené o 90 stupňov, do štvorca.
(2) Krivky umiestnim do $\mathbb{R}^2$ nasledovne

(3) Ak nájdem predpis prvej, viem aj predpisy ostatných. Označím predpis prvej krivky $\psi_1$ nasledovne
$\psi_1\,:\;\{\begin{bmatrix}x(t)+R\nly(t)+R\end{bmatrix}\,;\;t\in X\}$
Neviem teraz bližšie definovať množinu X, ale $X\subseteq\mathbb{R}^+$ . Podobne druhú krivku dostanem otočením prvej
$\psi_2\,:\;\{\begin{bmatrix}-y(t)-R\nlx(t)+R\end{bmatrix}\,;\;t\in X\}$
(5) Spojnica bodov
$\begin{bmatrix}x(t_0)+R\nly(t_0)+R\end{bmatrix}\;\rm{a}\;\begin{bmatrix}-y(t_0)-R\nlx(t_0)+R\end{bmatrix}$
je rovnobežná s dotykovým vektorom
$\vec{u}=\begin{bmatrix}x'(t_0)\nly'(t_0)\end{bmatrix}$
Sklon spojnice všeobecne pre t je
$k=\frac{y(t)-x(t)}{x(t)+y(t)+2R}$
teda vektor, ktorý určuje jej smer je
$\vec{s}=\begin{bmatrix}1\nl\frac{y(t)-x(t)}{x(t)+y(t)+2R}\end{bmatrix}$ resp. $\begin{bmatrix}x(t)+y(t)+2R\nly(t)-x(t)\end{bmatrix}$

Podmienka pre trajektóriu je teda $\vec{u}=\alpha(t)\cdot\vec{s}$ , alfa nie je konštanta, ale ide o číslo, ktoré udáva pomer medzi dĺžkami oboch vektorov, závisí od t. Tým je vyjadrená rovnobežnosť. Prepísaním do rovníc vzniká systém dvoch dif. rovníc

Funkcia alfa by sa dala vyjadriť pomocou pomeru dĺžok oboch vektorov. Riešením by mala byť trajektória prvej, teda všetkých. Ide mi o kontrolu, či sú úvahy správne, alebo som niečo prehliadol.

Vďaka za názory.