Matematické Fórum

kitchima · 21. 10. 2009 15:19

Caute. Potrebujem poradit s takymito prikladmi. Staci na nejakom vzorom mi ukazat, aby som vedela aky je postup. Vopred Dakujem

(a) Nájdite koeficient pre x^2yz^3 vo výraze [(x/2) + y − 3z]^6
(b) Kolko rôznych scítancov je v úplnom rozvoji výrazu [(x/2)+y−3z]^6
(c) Aký je súcet všetkých koeficientov v rozvoji výrazu [(x/2)+y−3z]^6

check_drummer · 21. 10. 2009 21:27

Zní to hloupě, ale co si to prostě roznásobit a spočítat? :-)
A nebo použít multinomickou větu - tj. vzorec pro roznásobení (a1+a2+...+ak)^n

kitchima · 22. 10. 2009 12:42

↑ check_drummer:

ja sa ucim takym sposobom, ze zadaju nam priklad a pridi na riesenie. Neviem co je multinomicka veta a tak roznasobit.. myslim, ze tak sa to neriesi.

marnes · 22. 10. 2009 13:24

↑ kitchima:
Zkus nastudovat toto
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=8003

jelena · 22. 10. 2009 15:16

↑ marnes:

Zdravím srdečně,

myslím si, že kolegyňce ↑ kitchima: opravdu pomůže multinomická věta, která se dá najit třeba tak.

Rozepisovat zadaní na (a+(b+c))^n) se mi zda trochu dramatické.

kitchima · 22. 10. 2009 19:07

dakujem vam. multinomicka veta pomohla. ale dokazala som nou vypocitat iba ulohu a.
vyslo mi (1/2)^2 *(-3)^3* (6! / 2!1!3!)

ale zvysne priklady mi nejdu tak pocitat. tam sa tiez pouziva multinomicka veta? a ako ak ano. dakujem

marnes · 22. 10. 2009 21:59 — Editoval marnes (22. 10. 2009 22:37)

↑ jelena:

jj, tady jsem hodně ujel:-( - omluva. Někdy je ze mě střelec:-) a donutí mě to se něco přiučit

jelena · 22. 10. 2009 23:57

Pro kolegu marnes, není za co se omlouvat - ta idea je přeci stejná.

↑ kitchima:

Zdravím,

pravda je, že multinomickou větu jsem dnes použila poprve (tady kolega Lishaak sděluje, že nepožil nikdy - ale to bylo dávno, tak snad i použil)

V ruské variantě je to vidět, že součet k_m musí tvořit n ( $k_1+k_2+\dots+k_m=n$ ). V zadání máme 3 členy [(x/2)+y−3z]^6, proto každý člen rozvoje bude obsahovat 3 členy, každý s příslušnou mocninou k_1, k_2, k_3. Tak jsem vypsala možnosti, jak z 3 čísel (z nabídky 0 až 6) vznikne součet 6, u každé možnosti jsem vypočetla počet možnosti seřazení mocnin:

6, 0, 0 - permutace s opakovaním (3 možnosti),
5, 1, 0 - permutace (6 možnosti),
4, 2, 0 - permutace (6 možnosti),
4, 1, 1 - permutace s opakováním (3 možnosti)
3, 3, 0 - permutace s opakováním (3 možnosti)
3, 2, 1 - permutace (6 možnosti),
2, 2, 2 - 1 možnost
------------------------
Celkem mám 28 možnosti, tedy bude 28 členů rozvoje. Zde, u strojů, jsem pro jistotu ověřila své pokusy (měla jsem totiž největší problém sečíst 18+9, jak jsem to překonala, tak +1 to už nebyl takový problém).

Asi podobnou cestu bych volila i pro součet koeficientů - z těchto možnosti k bych vytvořila jednotlivé koeficienty dle vzorce pro multi... koeficient ${n\choose k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} = \frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}$ a sečetla bych koeficienty.

Opět očekávám spravedlivou kritiku - určitě existuje nějaká více elegantní a hlavně standardizovaná cesta. Děkuji.

------
.....

Kondr · 23. 10. 2009 01:05

jelena napsal(a):
určitě existuje nějaká více elegantní a hlavně standardizovaná cesta. Děkuji.

Každou úlohu lze řešit programem a každý program lze zkrátit o jeden řádek. Ale ty krátké se špatně čtou ;) Pokusím se nastínit kratší (leč hůře "zaškatulkovatelnou") alternativu řešení:

a) Násobíme (x/2 + y- 3z)(x/2 + y- 3z)(x/2 + y- 3z)(x/2 + y- 3z)(x/2 + y- 3z)(x/2 + y- 3z).
Abychom dostali výraz obsahující x^2yz^3, musíme z jedné závorky vybrat člen s y (6 možností) a ze dvou zbylých členy s x ( ${5\choose 2}=10$ možností), celkem je takových členů 6*10=60. Každý z nich je roven $(x/2)^2\cdot y\cdot 3z=(3/4)x^2yz^3$ , jejich součet je proto $90xy^2z^3$ .

b) Každý člen odpovídá nějakému rozložení celkového stupně 6 mezi 3 proměnné -- x,y a z. Dělíme tedy 6 kuliček pomocí 2 přihrádek na 3 hromádky, uspořádání kuliček a přihrádek je ${6+2\choose 2}=28$ .

c) Pomni: koeficienty mnohočlene sčítati = jedničky za všechny proměnné dosaditi. Proto tento součet získáme jako $(1/2+1-3)^6=\frac{3^6}{64}$ .

A samozřejmě pozdrav všem zúčastněným, ať se daří :)

----
...

jelena · 23. 10. 2009 17:29 — Editoval jelena (24. 10. 2009 00:14)

↑ Kondr:

Děkuji :-) (ještě jsem ale neměla možnost přečíst pozdrav)

Když to vezmu z pozitivní stranky - už dokažu odlišit "permutaci" od "permutace s opakováním" (alespoň si to myslím).

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2009 15:19

kombinatorika, koeficient vo vyraze

#2 21. 10. 2009 21:27

Re: kombinatorika, koeficient vo vyraze

#3 22. 10. 2009 12:42

Re: kombinatorika, koeficient vo vyraze

#4 22. 10. 2009 13:24

Re: kombinatorika, koeficient vo vyraze

#5 22. 10. 2009 15:16

Re: kombinatorika, koeficient vo vyraze

#6 22. 10. 2009 19:07

Re: kombinatorika, koeficient vo vyraze

#7 22. 10. 2009 21:59 — Editoval marnes (22. 10. 2009 22:37)

Re: kombinatorika, koeficient vo vyraze

#8 22. 10. 2009 23:57

Re: kombinatorika, koeficient vo vyraze

#9 23. 10. 2009 01:05

Re: kombinatorika, koeficient vo vyraze

jelena napsal(a):

#10 23. 10. 2009 17:29 — Editoval jelena (24. 10. 2009 00:14)

Re: kombinatorika, koeficient vo vyraze

Zápatí