Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#2 13. 07. 2007 21:17 — Editoval sneakfast (14. 07. 2007 16:52)
Re: Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní
no sice jeste nejsem vysokoskolak ale snad dokazu nejak pomoct:)
treba posloupnost
je rostouci, a pritom ma nevlastni limitu nekonecno
a posloupnost
je rostouci, a pritom ma limitu 1
docela se nudim, takze tady jsou dukazy:)
1. posloupnost je rostouci, protoze pro kazde a_n plati: a_n+1 > a_n
dukaz
a_n+1 = n + 1
a_n = n
n + 1 > n
1 > 0
plati
2. posloupnost je rostouci
dukaz
a_n = n/(n+1)
a_n+1 = (n+1)/(n+2)
n/(n+1) < (n+1)/(n+2) //.(n+1)(n+2)
n(n+2) < (n+1)(n+1)
n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1
0 < 1
plati
1. limita neexistuje, podle definice limity nelze najit takove prirozene cislo, aby napr. pro epsilon = 1 vsechny nasledujici cisla platilo |a_n - a| < epsilon
2. limita existuje,
|n/(n+1) - 1| < epsilon
|(n-n-1)/(n+1)| < epsilon
|(-1)/(n+1)| < epsilon
1/(n+1) < epsilon
(1/epsilon) - 1 < n
pro libovolne epsilon zvolim n = 1/epsilon a nerovnost plati.
doufam ze to je spravne:)
Offline
#3 14. 07. 2007 23:25 — Editoval Lishaak (14. 07. 2007 23:29)
Re: Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní
Kdyz uz se tak nudis, tak si trochu rypnu:). V prvnim priklade tvrdis, ze limita neexistuje, coz NENI pravda a navic tvuj "dukaz" tohoto faktu je jakysi nesrozumitelny blabol:-)
Navic pochybuju, ze clovek, ktery se pta na tak jednoduchy priklad je schopen porozumet napriklad tomu schematickemu zapisu dukazu, ze posloupnost 2 ma limitu.
Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.
Offline
#4 15. 07. 2007 00:05
Re: Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní
jestli mas na mysli to, ze v prvnim priklade existuje nevlastni limita, to nepopiram, ale nevlastni limita neni limita - i kdyz to zni trochu divne:) trochu jako nevlastni matka neni matka - viz Jiri Jarnik, Posloupnosti a rady
nebo nevim jestli myslis to co ja..
Offline
#5 15. 07. 2007 09:15
Re: Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní
Jarnika jsem bohuzel necetl i kdyz uz se na to delsi dobu chystam. Ale zrejme je, ze kdyz reknu, ze limita posloupnosti neexistuje, rozhodne to neznamena, ze posloupnost muze mit nevlastni limitu. Definice limity, na kterou se odvolavas, definuje pouze limitu realnou, tedy vlastni. Ale jeste existuji limity nevlastni, co jsou prosim limity jako kazde jine, nebot nikdo netvrdi, ze limita posloupnosti musi byt realne cislo.
Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.
Offline
#6 15. 07. 2007 11:23
- jelena
- Jelena
- Místo: Opava
- Příspěvky: 30020
- Škola: MITHT (abs. 1986)
- Pozice: plním požadavky ostatních
- Reputace: 100
Re: Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní
Vychovna poznamka:
Pojmy "limita realní, tedy vlastní" a "realne cislo" apod. - to prece nejde takto mast kolegyni Sandru CH, ta z toho bude mit tak akorat zmatek.
Velice vychovne bude si vytvorit tabulku o dvou radcich a o dvou sloupcich a to limita "vlastní", "nevlastní", bod "vlastní", "nevlastní" a mame 4 mozne situace, co se tyce limit.
Az si vytvorite priklady posloupnosti do kazdeho policka tabulky a, kdo se nudi, ten si muze doplnit mozne varianty limit neexistujicich a priklady posloupnosti s limitou "komplexni cislo" :-).
A Jarnika doporucuji cist predevsim Vojtecha a pak Jiriho :-)
Vychovatelka vas zatim opousi a odchazi na Colours, tak se tu chovejte hezky a nebo take si nekam zajdete. Je leto :-)
Offline
#7 15. 07. 2007 12:30
Re: Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní
Lishaak napsal(a):
Definice limity, na kterou se odvolavas, definuje pouze limitu realnou, tedy vlastni. Ale jeste existuji limity nevlastni, co jsou prosim limity jako kazde jine, nebot nikdo netvrdi, ze limita posloupnosti musi byt realne cislo.
uplne ti rozumim:) nas problem je, ze mame asi jine definice limity a nevlastni limity. Z me definice nevlastni limity totiz vyplyva, ze "nevlastni limita" jako definovany pojem neni slucitelna s pojmem "limita".
nikdo netvrdi, ze limita posloupnosti musi byt realne cislo.
pokud do pojmu "limita posloupnosti" zahrnes i pojem "nevlastni limita posloupnosti", pak je to pravda.
ale matematicky - pokud posloupnost "ma nevlastni limitu", nevyplyva z toho, ze "ma limitu", protoze pojmy "limita" a "nevlastni limita" nejsou totozne a kazdy vyjadruje neco jineho. Lingvisticky ale samozrejme nevlastni limita je limita, cimz se to trochu znejasnuje:)
Offline
#9 16. 07. 2007 10:36
Re: Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní
Takze pokusim se to napravit tak, abych se co nejmin dostal do krizku s kolegou sneakfastem. Mam-li naprosto libovolnou posloupnost realnych cisel, muze nastat prave jeden z techto tri pripadu:
1. Posloupnost ma vlastni limitu, tedy jeji cleny se blizi k nejakemu REALNEMU cislu, napr. 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 ..., ktera se blizi k nule
2. Posloupnost ma nevlastni limitu, tedy jeji cleny se blizi k plus nebo minus nekonecnu, napr. 2, 4, 6, 8, 10, 12 ..., ktera se bizi k +oo.
3. Posloupnost nema zadnou (tedy vlastni ani nevlastni) limitu. Prikladam takove posloupnosti ja nepriklad posloupnost -1, 1, -1, 1, -1, 1 ... nebo taky 1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8 .... Nekdo takovym posloupnostem rad rika oscilujici, protoze se neblizi k zadnemu realnemu cislu ani k nekonecnu.
Zadna jina moznost u posloupnosti REALNYCH cisel nenastane.
Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.
Offline
#10 17. 07. 2007 23:36
Re: Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní
Zdravim!
Mel bych jen technickou poznamku k predchozimu prispevku. Pokud hovorime o posloupnosti realnych cisel (nebo obecne take jinych posloupnostech), nestaci uvest nekolik prvnich clenu. Asi je sice (dobrym) zvykem takto to delat, ale jsem prisnym kritikem v teto veci. Je treba uvest vzdy obecny clen posloupnosti a upresnit, co je indexovou mnozinou. Vsechny uvedene posloupnosti muzou dale pokracovat treba nulami nebo jinymi prvky a tim se dostavame uplne jinam. Nebot plati tvrzeni, ze nezalezi na prvnich "m" clenech posloupnosti, pokud hovorime o limite posloupnosti.
Z uvedeneho pak vyplyva, ze jednoznacne kritizuju ulohu typu doplnte ciselnou radu ... Z obecne matematickeho hlediska je to velice nekorektni. Kdysi jsem na vysoke skole doplnil tyto rady skoro vsechny nulami, zbytek jednickami. I kdyz jsem byl podle vysledku nejhorsi, je treba si uvedomit, ze vzdy existuje pravidlo (predpis) takovy, ze lze napsat dalsi clen posloupnosti libovolne. Dokonce takovych zpusobu existuje nekonecne mnoho. Nelze asi tyto ulohy opravovat a mit ciste svedomi.
Na druhou stranu, z didaktickeho hlediska je tato uloha patrne dosti cenna.
Marian
Offline
#11 18. 07. 2007 09:59
Re: Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní
Souhlasim s Marianem do slova a do pismene a jsem rad, ze to sem takto vymluvne napsal. I kdyz nekdy je mozna pripustne trosicku zhresit proti striktnim matematickym pravidlum a tim tak ulehcit zacatecnikovi pochopeni problemu. Jestli zrovna to, co jsem provedl ja, je prave tento pripad, to at si rozhodne kazdy sam.
Podobne je to napriklad pri pouzivani neurcitych integralu. Prestoze je vetsina lidi normalne pouziva, z hlediska korektnosti matematickeho uvazovani se jim zadny rozumny smysl priradit neda. Presto se jich lide neradi vzdavaj proste proto, ze jsou sandno pochopitelne.
Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Rostoucí posloupnost s limitou vlastní a nevlastní (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)