Matematické Fórum

Olin · 29. 12. 2009 11:26

Zdravím kolegy,

důkaz B-C podmínky, který mám v sešitě zapsaný z přednášky, mi přišel příliš zdlouhavý a nenázorný - oproti tomu, který mě samotného napadl. Místo důkazu B-C podmínka splněna => a_n konverguje provádím důkaz a_n diverguje => B-C podmínka porušena. Připomínám, že B-C podmínka vypadá následovně:
$\forall \varepsilon > 0 \, \exists n_0 \in \mathbb{N} \, \forall m, n \in \mathbb{N}, \, m, n \geq n_0: \, |a_n-a_m|<\varepsilon$
Negace je
$\exists \varepsilon > 0 \, \forall n_0 \in \mathbb{N} \, \exists m, n \in \mathbb{N}, \, m, n \geq n_0: \, |a_n-a_m| \geq \varepsilon$

Prosím o kontrolu:

Je-li a_n neomezená, pak je podmínka zřejmě porušena - zvolíme si epsilon jakékoliv, n třeba n_0 a díky neomezenosti určitě můžeme najít takové m, že $|a_n-a_m| \geq \varepsilon$ .

Pokud je a_n omezená, ale není konvergentní, pak má alespoň dva hromadné body, označím je X, Y, přičemž $X>Y$ . Zvolím $\varepsilon = \frac{X-Y}{4}$ . Nechť $\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = X$ , $\lim_{l \to \infty} a_{n_l} = Y$ . Pro každé n_0 zvolím m, n tak, že $m=n_{k_0},\, n_{k_0} \geq n_0 \wedge \forall k \geq k_0: \, |a_{n_k}-X|<\varepsilon$ (můžu díky konvergenci) a analogicky $n=n_{l_0},\, n_{l_0} \geq n_0 \wedge \forall l \geq l_0: \, |a_{n_l}-Y|<\varepsilon$ . Potom je $a_m > X - \varepsilon$ a $a_n < Y + \varepsilon$ a podle volby epsilonu tedy dokonce $|a_n-a_m| > 2 \varepsilon$ . Hotovo.

lukaszh · 29. 12. 2009 12:08

↑ Olin:
Keď sme mali dôkaz tejto vety, tak ma tiež napádali podobné riešenia. Dôkaz je skutočne zdĺhavý a spomínam si naň, že som ho nepochopil. V podstate vo svojom dôkaze rozoberáš vzdialenosti hromadných bodov cez podpostupnosti. Možno by si to vyžadovalo názor odborníka.

OT:
Tiež by som vrátil do pozornosti Řada (Děmidovič 2600). Riešenie je pekné, ale jednoduchšie som však nenašiel. Dokonca by ma nenapadlo ani uvažovať Stirlingov odhad.

RobbieMan

na mff v matanalyze jsme si uvadeli obe implikace, pricemz ta prvni, tedy ta kterou si vymyslel je opravdu jednodussi a lepsi, ale trochu jsem se bal aby se me na to nezeptali na zkousce, tak jsem se naucil obe, v jarníkovi je ta tezsi implikace dobre vysvetlena, opravdu se to tam nejak resi pres lim inf a lim sup,

btw: jak jste se vyporadali s dukazem o n-té odmocnine?? pokud jste ji teda nekdo mel

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2009 11:26

Důkaz B-C podmínky

#2 29. 12. 2009 12:08

Re: Důkaz B-C podmínky

#3 29. 12. 2009 12:33 — Editoval RobbieMan (29. 12. 2009 13:15)

Re: Důkaz B-C podmínky