Matematické Fórum

Takze, pojdme na to:

Priklad 1:

Maji-li tyto vektory generovat tridimenzionalni prostor, musi mezi nimi byt nejake tri takove, ktere jsou linearne nezavisle (takove tri vektory potom budou tvorit bazi toho prostoru). Jak to zjistit? Snadno. Nacpeme tyto vektory jako radky do matice 4x3 a provedeme gaussovu eliminaci. Pokud po eliminiaci matice v ni bude vic nez jeden nulovy radek, vime, ze zadne tri vektor nebyly linearne nezavisle.

Priklad 3:

Polynomy v nasem prostoru polynomu budeme znacit a(x), b(x) (abych sem furt nemusel psat to otravne "fi"). Vime, ze ma-li byt zobrazeni linearni, musi pro nej platit:

f(u+v) = f(u) + f(v)
f(c*u) = c*f(u)

kde u, v jsou vektory (v nasem pripade polynomy) a c je prvek telesa ned kterym je postaven ten vektorovy prostor (v nasem pripade realne cislo).

Ted staci overit platnost tech vztahu pro nas konkretni priklad:

f(a(x) + b(x)) = x*(a(x) + b(x))' = x*a'(x) + x*b'(x) = f(a(x)) + f(b(x))
f(c*a(x)) = x*(c*a(x))' = c*x*a'(x) = c*f(a(x))

Vidime, ze podminky jsou skutecne splneny, cili jde o linearni zobrazeni.

Tot pro zacatek. Ja ted bohuzel nemam moc casu, ale slibuju, ze vecer se ti jeste podivam na ty zbyle dva priklady...

Pomohl by mi prosim vás ještě někdo s těmi dvěma príklady.

Matice a
a b
c d
matice x
u v
x y
Pak AX a XA jsou
au+bx av+by
cu+dx cv+dy

a

ua+vc ub+vd
xa+yc xb+yd

Porovnáním matic
bx=vc
av+by=ub+vd
cu+dx=xa+yc
cv=xb (tuto rovnici lze ignorovat, je stejná s první)
Čveřice u,v,x,y je řešením  homogenní soustavy rovnic. množina všech těchto čtveřic (tedy náš prostor W) je proto vektorovým prostorem. Jeho dimenze závisí na hodnotách a,b,c,d:
Po úpravách soustavy
bx=cv
b(y-u)=v(d-a)
c(y-u)=x(d-a)
Rozlišme 3 možnosti:
1) b,c jsou nenulové. Pak dle první rovnice
x=ct
v=bt
Druhá a třetí rovnice dávají y-u=t(d-a)/b=t(d-a)
Matice proto mají tvar
u  ct
bt u+t(d-a)
Báze může proto vypadat takto
0 c
b d-a

1 0
0 1

2) b=0, c není 0.
Pak v=0 a c(y-u)=x(d-a). Matice mají tvar
u 0
x u+x(d-a)/c
Báze je tvaru
0 0
c d-a
a
1 0
0 1

3)b=c=0. Pak je třeba rolišit ještě dva případy: d-a=0 (pak W=Mat_22(R), vyhoví všechny matice) nebo
d-a není 0, pak v=0, x=0, matice mají tvar
u 0
0 y
Báze má tvar
1 0
0 0

0 0
0 1

Možná k tomu šlo dojít jednodušeji, ale shrnutím úvah dostáváme, že pokud je A násobkem jednotkové matice, je řešením celý prostor Mat_22(R), v ostatních případech prostor dimenze 2, jehož bázi lze zapsat v například tak, že jejím prvním prvkem je matice A a druhým prvkem matice jednotková.