Matematické Fórum

jaj · 10. 05. 2010 06:32 — Editoval jaj (10. 05. 2010 13:19)

dekuji

Marian · 10. 05. 2010 10:18

Vytvořující funkce posloupnosti $\{ a_n\}_{n=0}^{\infty}$ je potenční řada

$f(x):=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.$

Má smysl uvažovat o této řadě i ve smyslu součtu (řada konverguje například pro x=0, tj. ve svém středu). Tomuto tvaru se někdy říká otevřený tvar. Pro nalezení uzavřeného tvaru je nutné najít součet nekonečné řady. Tady ovšem nevím, jaké prostředky mohu používat. Počkám si tedy na tvé upřesnění.

jarrro · 10. 05. 2010 11:36

asi najjednoduchšie je podľa mňa $f(x):=\sum_{n=0}^{\infty}\left(2n+1\right)x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(2n+2\right)x^n-\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ druhá suma je priamo geometrický rad a prvá integrovaním prejde na geometrický rad
vyjde to $f\left(x\right)=\frac{1+x}{\left(1-x\right)^2};x\in \left(-1;1\right)$

Oxyd · 10. 05. 2010 12:40

Funkce $\sum_{i \ge 0} x^i = \frac{1}{1 - x}$ je generující pro posloupnost 1, 1, 1, ...

Zderivujme tu funkci (člen po členu):

$\sum_{i \ge 1} i x^{i - 1} = \left( \frac{1}{1 - x} \right)' = \frac{1}{(1 - x)^2}$ -- ta je generující pro posloupnost 1, 2, 3, 4, 5 ...

Chtěli bychom na začátek dostat nulu. Dobře, přenásobíme to x-em...

$x \sum_{i \ge 1} i x^{i - 1} = \sum_{i \ge 1} ix^i =\sum_{i \ge 0} ix^i = \frac{x}{(1 - x)^2}$ -- ta je tedy generující pro posloupnost 0, 1, 2, 3, 4, ...

Přenásobme ji dvěma:

$2 \sum_{i \ge 0} i x^{i} = \sum_{i \ge 0} 2i x^{i} = \frac{2x}{(1 - x)^2}$ -- ta je generující pro posloupsnost 0, 2, 4, 6, 8, ...

Generující funkce můžeme sčítat -- tak k tomu, co máme teď přičtem zase funkci pro posloupnost 1, 1, 1...

$\sum_{i \ge 0} 2i x^{i} + \sum_{i \ge 0} x^i = \sum_{i \ge 0} (2i + 1) x^{i} = \frac{2x}{(1 - x)^2} + \frac{1}{1 - x} = \frac{ x + 1 }{ (1 - x)^2 }$ , která je generující pro posloupnost 1, 3, 5, 7, 9, ...

Matematické Fórum

#1 10. 05. 2010 06:32 — Editoval jaj (10. 05. 2010 13:19)

Vytvořující funkce

#2 10. 05. 2010 10:18

Re: Vytvořující funkce

#3 10. 05. 2010 11:36

Re: Vytvořující funkce

#4 10. 05. 2010 12:40

Re: Vytvořující funkce