Matematické Fórum

bele · 12. 05. 2010 11:16

Dobrý den, mám problém s těmito příklady:

1) V dané kružnici k sestrojte dva libovolné průměry AB, CD. Označte alfa úhel, který svírají přímky AB a CD. Dokažte, že tečny ke kružnici k v krajních bodech daných průměrů svírají také úhel alfa. (nevím jak to dokázat)

2)Vypočítejte velikost úhlu, který svírají dvě úsečky, které vzniknou spojením bodů odpovídající číslům 2; 7 a 1; 4 na ciferníku hodin. (výsledek 60°)

3)Do kružnice k (S; r) je vepsán trojúhelník ABC, jehož vrcholy dělí danou kružnici k na tři kružnicové oblouky, jejichž délky jsou v poměru 2 : 3 : 7. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC. (výsledek 30°,45°,105°) (úhly mi vyšly úplně jinak)

Budu vděčna za jakoukoli radu, mám týden do maturity tak se snaží přijít na co nejvíce příkladu, ale vůbec se mi to nedaří.

Cheop · 12. 05. 2010 11:35

↑ bele:
3)
Úhly ve vzniklém trojúhelníku budou ve stejném poměru jako ty oblouky.

Poměr 2:3:7 =12
Součet úhlů v trojúhelníku je 180 stupňů
Na 1 díl připadá: 180/12 = 15 stupňů tedy:
2*15 = 30
3*15 = 45
7*15 = 105
Úhly jsou:
$30^\circ;\,45^\circ;\,105^\circ$

Mathe · 12. 05. 2010 11:41

K příkladu č.2: Rozděl si kružnici na 12 dílů, pak jeden díl bude mít 360/12=30°. Spoj jako je na hodinách 1,2,3....12. Pak si spoj body jak je v zadání. Pak si to doplň na trojúhelník

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pak již stačí dopočítat úhly v trojúhelníku.
Úhly se určují tak, že se spočítají políčka, která ohraničují jejich ramena * 30°. Ale musíš si tam najít trojúhelník, který jde přes střed.

Mathe · 12. 05. 2010 11:50 — Editoval Mathe (12. 05. 2010 11:52)

K příkladu 1: Buď jsem tento příklad nepochopil, nebo je nějak špatně formulovaný. Ale jak je vidět z obrázku, tak úhel $\alpha$ nám u tečny nikde nevznikne.
Ještě omluvte prosím to značení, ale myslím, že to pujde pochopit i tak.
přímka a: jeden průměr
přímka b: druhý průměr
přímka d: tečna v bodě D

Rumburak

Jenom se pokusím napovědět.

Ad 1 . Označme S střed té kružnice, "a" tečnu v bodě A, "c" tečnu v bodě C, X průsečík těchto tečen.
Co můžeme říci o přímce SX a trojúhelníkách SAX, SBX ?

Ad 2. Ozn. S střed kružnice , X průsečík uvažovaných tětiv.
Trojúh. "147" je pravoúhlý rovnoremenný (pravý úhel při bodu "4" - Thaletova věta), umím tedy určit úhel "714".
Pomocí věty o středovém a obvodovém úhlu určím úhel "172". V trojúhelníku "17X" už znám 2 úhly.

Ad 3. Délka oblouku kružnice je úměrná příslušnému středovému úhlu.

PS. Vidím, že někteří kolegové byli rychlejší.

bele · 12. 05. 2010 12:04

všem moc děkuji za odpovědi moc mi to pomohlo ;)

Chrpa · 12. 05. 2010 21:37

↑ bele:
Jen tak pro zajímavost:
Př.2)
Počítal jsem to pomocí analytické geometrie (odchylka dvou přímek)
a opravdu vyšlo, že úsečky svírají úhel $60^\circ$

Matematické Fórum

#1 12. 05. 2010 11:16

Kružnice, středový a obvodový úhel

#2 12. 05. 2010 11:35

Re: Kružnice, středový a obvodový úhel

#3 12. 05. 2010 11:41

Re: Kružnice, středový a obvodový úhel

#4 12. 05. 2010 11:50 — Editoval Mathe (12. 05. 2010 11:52)

Re: Kružnice, středový a obvodový úhel

#5 12. 05. 2010 11:58 — Editoval Rumburak (12. 05. 2010 12:00)

Re: Kružnice, středový a obvodový úhel

#6 12. 05. 2010 12:04

Re: Kružnice, středový a obvodový úhel

#7 12. 05. 2010 21:37

Re: Kružnice, středový a obvodový úhel

Zápatí