Matematické Fórum

Ginco · 19. 03. 2008 19:00 — Editoval Ginco (19. 03. 2008 20:42)

Našel jsem příklad, a myslim, že stojí zato ho vypočítat.

3. Řešte rovnici $x^{x^3}=3$

(ten exponent x je ještě na třetí)
Nakonec jsem ho vyřešil, ale jsem zvědav, jestli jsou i jiné způsoby řešení.

robert.marik · 19. 03. 2008 19:36

$x^{x^3}=3$ x^{x^3}=3

Ivana · 19. 03. 2008 19:43

↑ Ginco:Tak já to začnu... substitucí :
$x^3=a$
$x^a=3$
$alogx=3$
$x^3logx=3$

Marian · 19. 03. 2008 21:59 — Editoval Marian (19. 03. 2008 22:20)

No ja myslim, ze to s tou substituci nebude tak horke, Ivano. Ja bych provedl tuto uvahu ...

Provedeme tyto ekvivalentni upravy:

U posledni rovnice by se muselo ukazat, ze existuje jedine reseni $z\in\mathbb{R}^+$ . To by nemuselo byt tezke, ale provadet t korektne nebudu. Protoze funkce $z^z$ je pro vsechna $z\ge 1$ rostouci, existuje jedine reseni na tomto intervalu. To se snadno uhadne, totiz $z=3$ . Odtud take snadno resubstituci ze vztahu $z=x^3$ mame hledane reseni uvazovane rovnice, tj.

$\color{blue}{}\boxed{x=\sqrt[3]{3}.}$

Editace. Kdyby jsme resili o neco obecnejsi ulohu, treba (pro jednoduchost) $x^{x^3}=4$ , hrabali bychom se (jak se to jiz minimalne jednou na tomto foru stalo) s Lambertovou funkci W(x). Zadana rovnice vyse je volena tak, aby se Lambertova funkce ve vysledku nevyskytovala. Ale to je jiste mimo ramec stredni skoly.

Ivana · 20. 03. 2008 06:32

↑ Marian:Zdravím , tak se přiznám , že to by mně nenapadlo . Ale řešení je to teda fakt elegantní . :-)

Marian · 20. 03. 2008 14:52

↑ Ginco:

Zajimalo by me tve reseni, Ginco! Mozna je o neco zajimavejsi nez to moje a muze treba byt inspiraci do budoucna.

Ginco · 20. 03. 2008 18:08

↑ Marian:

Ok, jak chceš

$x^{x^3}=3$
substituce
$x^{x}=a$
$a^3=3$
$3 log a=3$
$log a =\frac{log3}{3}$
$log a =0,159$
$a =10^{0,159}$
$a = 1,44 = \sqrt[3]{3}$

z toho $x =\sqrt[3]{3}$

Marian · 20. 03. 2008 21:44 — Editoval Marian (20. 03. 2008 22:27)

Takze vemu jeden radek po druhem, ktery tam mas napsany a napisu k tomu nekolik poznamek. Nekdy mozna budou tyto poznamky vyrazne prekracovat ucivo SŠ, ale pro zkuseneho ctenare to problem nebude.

1. radek
Je dana rovnice $x^{x^3}=3$ , kde x je neznamou. Predpokladame, ze hledame realne reseni.

2. radek
Zavadis substituci $x^x=a$ .

3. radek
Z 2. radku pak podle tebe plyne rovnost $a^3=3$ . To ale nemuze byt pravda, nebot ze substitucniho vztahu by pak plynulo $a^3=\left (x^x\right )^3$ . Podle pravidel pro pocitani s mocninami pak ale je $a^3=\left (x^x\right )^3=x^{3x}\neq x^{x^3}$ pro $x\in\mathbb{R}$ takova, ze uvedene vyrazy maji smysl a $x\neq 1$ . O tom se lehce presvedcis treba dosazenim x=2. Tedy s 3. radkem nelze souhlasit.

4. radek
Pravdepodobne je tam preklep, spravne z 3. radku totiz plyne vztah $3\log a=\log 3$ . Chybi operator dekadickeho logaritmu na prave strane rovnitka.

5. radek
Za predpokladu, ze v 4. radku je preklep a chtel-li jsi zapsat $3\log a=\log 3$ , pak 5. radek je v poradu. Treti radek ale neni v poradku, tedy paty radek neplyne z prvniho v obecnem pripade.

6. radek Je myslen spravne a plyne z radku pateho, nicmene nemohu s nim souhlasit. Muselo by totiz platit
$\frac{\log 3}{3}=0.159\in\mathbb{Q}.$
To je spor, plati totiz $\log 3\notin\mathbb{Q}$ , dokonce se da dokazat, ze toto cislo neni ani algebraicke nad telesem racionalnich cisel (viz napr. Bakerova veta o linearnich formach logaritmu nad telesem racionalnich cisel). Prava strana je tedy zaokrouhlena (navic nepises s jakou presnosti), pricemz v zadani neni rec o pribliznem reseni. Pokud bych to mel akceptovat, muselo by byt spravne
$\frac{\log 3}{3}\approx 0.159$
nebo
$\frac{\log 3}{3}\dot{=}0.159.$

7. radek
Vzhledem k predeslemu musi byt
$a\approx 10^{0.159}.$

8. radek
Jedna se o dalsi zaokrouhleni; absence znaku $\approx$ , popr. $\dot{=}$ . Neni nutne vsak v 7. a 8. radku provadet zaokrouhleni. Hodnotu a lze nalezt z vlastnosti logaritmu, kde plati skutecne $a=\sqrt[3]{3}$ . Vpravo od druheho rovnitka opet absence znaku $\approx$ . Nelze se vracet od aprximovane hodnoty po nekolika krocich zpet k hodnote presne. I kdyby souhlasilo prvnich 100 desetinnych mist, musel bych pochybovat.

9. radek
Je nesmysl, nebot ze tvych vysledku plyne
$x^x=a=\sqrt[3]{3}.$
Pokud by bylo $x=\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}$ , pak take
$3^{1/3}=x^x=(3^{1/3})^{3^{1/3}}=3^{\frac{1}{3}\cdot 3^{1/3}}.$
Porovnanim exponentu by muselo platit
$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\quad \Leftrightarrow\quad -1=-1+\frac{1}{3},$
coz je jednoznacne spor.

Zaver. Nelze souhlasit se tvym resenim.

Rada. Neplati obecne vztah (maji-li uvedene vyrazy smysl)
$\left (a^b\right )^c=\boxed{a^{(b^c)}=a^{b^c}}.$
Plati pouze zaramovana cast!!!

Ginco · 21. 03. 2008 09:38

↑ Marian:

ok, dík za opravu, vezmu si z toho ponaučení

Marian · 21. 03. 2008 09:59

↑ Ginco:

Nemyslel jsem to ale vubec zle. Mohlo to znit prisne, ale cil byl jednoznacny, totiz relativne pristupne osvetlit co se stalo ve tvem vypoctu a proc to nebylo v poradku.

Zdravim na druhy konec republiky.

Ginco · 21. 03. 2008 11:07

↑ Marian:

já sám jsem s tím řešením nebyl moc spokojen, ale bylo to celkem to jediné co mě napadlo; ty chyby jako zaokrouhlení toho jsem si byl vědom a věděl jsem že si někdo bude stěžovat.

taky zdravim

Marian · 21. 03. 2008 11:32 — Editoval Marian (21. 03. 2008 11:34)

Nemusis vubec zaokrouhlovat, protoze mas lehce

$\boxed{\log a=\frac{\log 3}{3}}=\frac{1}{3}\log 3=\log\left (3^{1/3}\right )\qquad\Leftrightarrow\qquad a=3^{1/3}\qquad\Leftrightarrow\qquad a=\sqrt[3]{3}.$

A je vystarano se zaokrouhlovanim.

Ginco · 21. 03. 2008 11:51

↑ Marian:

no vidíš , to mi nedošlo, budu si muset dát pár příkladů na logaritmy. jinak bych se tě chtěl zeptat, kde studuješ a co?

Marian · 21. 03. 2008 12:08

↑ Ginco:

Uz jsem skoro dostudoval. Nejprve to byla germanistika a matematika 4 roky na univerzite, pak jeste rok matematika pri zamestnani a pak ctyri roky aplikovana matematika. V poslednich ctyrech letech se zameruji predevsim na analytickou teorii cisel a obecne otazky nekonenych rad, predevsim pak vyvoj novych metod jejich sumace v uzavrenem tvaru. Ze mam rad ale nekonecne rady, to bylo jiz nekolikrat videt na mych prispevcich. V posledni dobe ale nemam skoro vubec cas na prispevky zde. Tva uloha se mi proste libila, tak jsem ji zde vyresil.

jelena · 21. 03. 2008 21:03

Marian napsal(a):
Uz jsem skoro dostudoval

Zdravim :-), to je snad jedno z velmi mala tvych tvrzeni, kteremu bych neuverila (a uz vubec ne vztazeno k tobe), bo za jedną siną dalą, druga dal :-)

Marian · 28. 03. 2008 22:15

↑ Ivana:

Vracim se po jiste dobe k teto uloze, i kdzy jiz je vyresena. Totiz ta myslenka s Ivaninou substituci x^3=a funguje take. Zde nekoik poznamek. Predpokladam, ze je tedy zavedena substituce x^3=a. Pak je jasne, ze x=a^(1/3). Proto

$x^{x^3}=x^{(x^3)}=(\sqrt[3]{a})^{a}=\sqrt[3]{a^a}.$

Protoze ma ale platit x^(x^3)=3, bude

$\sqrt[3]{a^a}=3.$

Umocnenim na treti pak je a^a=27, odkud a=3 a ze zavedene substituce take konence jiz reseni puvodni rovnice ve tvaru x=3^(1/3).

Ivana · 29. 03. 2008 21:27

↑ Marian:Děkuji za upozornění . :-)

Matematické Fórum

#1 19. 03. 2008 19:00 — Editoval Ginco (19. 03. 2008 20:42)

Exponenciální rovnice x^x^3=3

#2 19. 03. 2008 19:36

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#3 19. 03. 2008 19:43

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#4 19. 03. 2008 21:59 — Editoval Marian (19. 03. 2008 22:20)

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#5 20. 03. 2008 06:32

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#6 20. 03. 2008 14:52

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#7 20. 03. 2008 18:08

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#8 20. 03. 2008 21:44 — Editoval Marian (20. 03. 2008 22:27)

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#9 21. 03. 2008 09:38

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#10 21. 03. 2008 09:59

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#11 21. 03. 2008 11:07

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#12 21. 03. 2008 11:32 — Editoval Marian (21. 03. 2008 11:34)

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#13 21. 03. 2008 11:51

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#14 21. 03. 2008 12:08

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#15 21. 03. 2008 21:03

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

Marian napsal(a):

#16 28. 03. 2008 22:15

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3

#17 29. 03. 2008 21:27

Re: Exponenciální rovnice x^x^3=3