Matematické Fórum

suzann · 21. 11. 2010 20:00

tak jsem taDy zase:

Binomická věta je pro mě záhadou. Jak na tohle? :-)

Kametec

Ahoj, na binomické větě není nic zákeřného, navíc tady slouží pouze k úpravě.
Zde je její znění. http://cs.wikipedia.org/wiki/Binomick%C3%A1_v%C4%9Bta

Prvních pár úprav nasázím do TeXu...

$\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\sum_{i=1}^{100}{{(x+i)}^{10}}}{x^{10}+{10}^{10}}}= \lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\sum_{i=1}^{100}{\sum_{j=0}^{10}{{10 \choose j}x^{10-j}i^{j}}}}{x^{10}+{10}^{10}}}=\nl= \lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\sum_{i=1}^{100}{(x^{10}+\sum_{j=1}^{10}{{10 \choose j}x^{10-j}i^{j}})}}{x^{10}+{10}^{10}}}= \lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{100x^{10}+{\sum_{i=1}^{100}{\sum_{j=1}^{10}{{10 \choose j}x^{10-j}i^{j}}}}}{x^{10}+{10}^{10}}}$
Podle binomické věty je úprava v první rovnosti. Zbytek je jen osamostatnění členu s nejvyšším exponentem. Dál už zvládneš?

suzann · 21. 11. 2010 21:51

↑ Kametec: jéjda, to je fakt moc :-D musím se na tu větu trochu podívat, ale tohle nevymyslím, i tenhle začátek je pro mě jen shluk znaků, já věděla že binomická věta je ošklivá :-D

Kametec · 21. 11. 2010 22:27

Úloha binomické věty v tomto výpočtu začíná a končí tou naznačenou úpravou, dál je to čistokrevné "limitění".
Doplním tedy komentáře a nástin postupu dále.

halogan · 21. 11. 2010 22:34

↑ suzann:

Jenom do toho kolegovi skočím.

Tobě jde o to, že v každém tom binomickém rozvoji je $x^10$ , zbytek je z hlediska limitění takové drobné. Viz zápis kolegy $100x^10 + \suma \dots$ .

Kametec

Podrobný popis postupu výše:
Výchozí stav: Pouze jsem zkráceně zapsal zadání.
První úprava: Dosadil jsem do binomické věty. Pro zápis na wiki by platilo: y:=i; n:=10.
Druhá úprava: Rozdělil jsem vnitřní sumu $\sum_{j=0}^{10}{a_j}=a_0+\sum_{j=1}^{10}{a_j}$ , protože její první člen má nejvyšší exponent u x, ten člen ovlivňuje limitu, narozdíl od ostatních.
Třetí úprava: Tady jsem sloučil několik elementárních úprav do jedné úpravy. Využil jsem: $\sum_{i=1}^{100}{(a_i+b_i)} = \sum_{k=1}^{100}{a_k} + \sum_{i=1}^{100}{b_i}$ a $\sum_{i=1}^{100}{x^{10}}=100x^{10}$ .
Jasné?

A nyní jak dále (Předpokládám, že se jedná o limitu posloupnosti):
Musím ukázat, že ta suma $\sum_{i=1}^{100}{\sum_{j=1}^{10}{{10 \choose j}x^{10-j}i^{j}}}$ je vedle $100x^{10}$ zanedbatelná. Já bych na to použil větu o dvou policajtech. Znáš ji? Je třeba zde: http://www.kmt.zcu.cz/subjects/zm1/prednaska2.doc, teď jsem to vygooglil.

Použil bych následující odhad: $-1\le\sum_{i=1}^{100}{\sum_{j=1}^{10}{{10 \choose j}x^{10-j}i^{j}}}\le ax^9+c$ pro nějaké kladné (a dostatečně velké) a,c

Věříš tomu hornímu odhadu? Můžeš použít i jiný, vymyslet ho můžeš třeba s pomocí rozepsání sum, co se v příkladu vyskytují. Je akorát důležité, aby byl ve tvaru, se kterým se ti bude dobře pracovat.

Nyní stačí ověřit: $\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{100x^{10}-1}{x^{10}+{10}^{10}}}=^?\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{100x^{10}+ax^9+c}{x^{10}+{10}^{10}}}$
Dál už zvládáš? A chápeš?

Pavel Brožek · 21. 11. 2010 23:13

Proč používat binomickou větu, když to jde velmi jednoduše bez ní?

Z každé závorky vytknu $x^{10}$ a celý zlomek $x^{10}$ pokrátím. Dál už je to jednoduché.

suzann · 22. 11. 2010 09:59

↑ Kametec:
Věta o dvou policajtech - tenhle název jsem ještě neslyšela, ale jestli to dobře chápu, tak jde o limitu nějaké funkce sevřené dvěma funkcemi. A proč se tomu říká "o dvou policajtech"? Nepodařilo se mi najít tohle vysvětlení, všude je jen ten název...

Na ten postup se večer podívám, díky

suzann · 22. 11. 2010 10:03

↑ BrozekP: A jak by mělo vypadat konkrétně to vytknutí x^10 z každé závorky?

suzann · 22. 11. 2010 10:18

↑ Kametec: Tak, zkusím si to ujasnit. Definice binom. věty: "n-tou mocninu dvou sčítanců rozložíme na součet n+1 sčítanců"
Má to znamenat, že třeba (a+b)^2 lze rozložit na tyto tři sčítance: a^2 , 2ab, b^2 ? To tím chtěl básník říci?

A jak si vyložit tohle:
$http://upload.wikimedia.org/math/d/c/d/dcd1a17e1959bfe8a4420d47eb421713.png$

Kdybych si vzala pro příklad to (a+b)^2 (maximálně třeba (a+b)^3, pokud by to jako příklad bylo lepší), tak co mi tenhle zápis s tím výrazem udělá?

suzann · 22. 11. 2010 10:26

a ještě proč tam je "k=0" :-))))

jelena · 22. 11. 2010 10:44

↑ suzann:

Zdravím,

slovo "užijte" v nápovedě je zavádějící. Má být "Představte si binomickou větu".

Kolegové opakovaně prosazují to stejné:

Kametec napsal(a):
Podle binomické věty je úprava v první rovnosti. Zbytek je jen osamostatnění členu s nejvyšším exponentem. Dál už zvládneš?

halogan napsal(a):
Tobě jde o to, že v každém tom binomickém rozvoji je x^{10}, zbytek je z hlediska limitění takové drobné. Viz zápis kolegy 100x^{10} + \suma \dots.

BrozekP napsal(a):
Proč používat binomickou větu, když to jde velmi jednoduše bez ní?

Z každé závorky vytknu x^{10} a celý zlomek x^{10} pokrátím. Dál už je to jednoduché.

jak by dopadla limita takové funkce $\frac{(x+1)^2+(x+2)^2+(x+3)^2}{x^2+42}$ pro x k nekonečnu?

Debatu o binomické větě jako takové bych ponechala do jiného tématu.

Kolegům děkuji a Tobě také.

suzann · 22. 11. 2010 11:20

↑ jelena: No, asi máš pravdu. Ale já si fakt moc nevím rady s tím, jak vytknout "jednoduše" to x^2 anebo x^10 v tom původním příkladu? To musím ty závorky roznásobit všechny? Určitě tam bude nějakej jednodušší fígl... ?

jelena · 22. 11. 2010 11:30

↑ suzann:

Kolegové maji pravdu :-)

Pokud máš obavu z binomické věty, jako možnou cestu překonání obav vidím tento výraz roznásobit a vytknou $x^2$ , potom to stejné provést pro $\frac{(x+1)^3+(x+2)^3+(x+3)^3}{x^3+42}$ vytknout $x^3$ a nakonec posbírat odvahy a "představit si" binomickou větu a doporučení kolegů o největším členu.

Cheop · 22. 11. 2010 11:35 — Editoval Cheop (22. 11. 2010 11:38)

↑ suzann:
z tohoto to už odvodíš ?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li … ^3%2B42%29

Rumburak

↑ suzann:
"Větou o dvou policajtech" , někdy též "větou o dvou milicionářích" se populárně nazývá známá věta z teorie limit (viz třeba zde)
a její varianty. Základem pro toto označení je představa o vězni, kterého z každé strany vede policista (vězňovi pak nezbývá než
jít tam, kam ho policisté vedou).

Kametec

↑ suzann:, ↑ suzann:
Mám pocit, že hlavním problémem je neznalost zkráceného zápisu součtu nebo kombinačních čísel.
Přečti si následující odkazy, potom by binomická věta měla být jasnější.
http://cs.wikipedia.org/wiki/Sumace
http://cs.wikipedia.org/wiki/Kombinační čslo

Pavel Brožek · 22. 11. 2010 12:33

↑ jelena:

Nebo bez té odvahy prostě použít aritmetiku limit a vyhnout se tak binomické větě úplně.

↑ suzann:

Vezmu si např. člen $(x+38)^{10}$ z čitatele:

$(x+38)^{10}=[x(1+\frac{38}x)]^{10}=x^{10}\cdot(1+\frac{38}x)^{10}$

Tohle provedu v každém členu v čitateli. Pak ze všech členů vytknu $x^{10}$ a budu tím krátit celý zlomek. Pak už je to jednoduchá aritmetika limit: limita podílu je podíl limit, limita součtu je součet limit, limita součinu je součin limit, limita součtu je součet limit, limita součinu konstanty a funkce je součin konstanty a limity funkce a nakonec limita $\frac1x$ je 0.

Edit: Nemůžu si pomoct, ale nápověda „užijte binomickou větu“ mi přijde jako nevhodná, když existuje jednodušší způsob, který by studenti měli spíš ovládat než binomickou větu.

Kametec

↑ suzann:
Vytknutí je skutečně jednodužší.
Pro pochopení je lepší vytknout x před mocněním.
Asi takhle:
$\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\sum_{i=1}^{100}{{(x+i)}^{10}}}{x^{10}+{10}^{10}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\sum_{i=1}^{100}{{(x(1+\frac{i}{x}))}^{10}}}{x^{10}+{10}^{10}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\sum_{i=1}^{100}{x^{10}{(1+\frac{i}{x})}^{10}}}{x^{10}(1+\frac{{10}^{10}}{x^{10}})}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{x^{10}\sum_{i=1}^{100}{({1+\frac{i}{x})}^{10}}}{x^{10}(1+{(\frac{10}{x})}^{10})}}$

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2010 20:00

Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#2 21. 11. 2010 20:59 — Editoval Kametec (21. 11. 2010 21:30)

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#3 21. 11. 2010 21:51

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#4 21. 11. 2010 22:27

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#5 21. 11. 2010 22:34

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#6 21. 11. 2010 23:09 — Editoval Kametec (21. 11. 2010 23:22)

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#7 21. 11. 2010 23:13

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#8 22. 11. 2010 09:59

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#9 22. 11. 2010 10:03

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#10 22. 11. 2010 10:18

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#11 22. 11. 2010 10:26

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#12 22. 11. 2010 10:44

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

Kametec napsal(a):

halogan napsal(a):

BrozekP napsal(a):

#13 22. 11. 2010 11:20

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#14 22. 11. 2010 11:30

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#15 22. 11. 2010 11:35 — Editoval Cheop (22. 11. 2010 11:38)

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#16 22. 11. 2010 11:40 — Editoval Rumburak (22. 11. 2010 13:13)

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#17 22. 11. 2010 12:25 — Editoval Kametec (22. 11. 2010 12:52)

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#18 22. 11. 2010 12:33

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?

#19 22. 11. 2010 12:48 — Editoval Kametec (22. 11. 2010 12:56)

Re: Užití binomické věty v limitě - jak na to?