Matematické Fórum
Archiv diskusního fóra o matematice, 2006–2026
#1 14. 01. 2011 08:03 — Editoval Marian (14. 01. 2011 08:14)
- Marian
- Místo: Mosty u Jablunkova
- Příspěvky: 2512
- Škola: OU
- Pozice: OA, VSB-TUO
- Reputace: 67
Riemannův určitý integrál
Vypočítejte Riemannův určitý integrál![$ \Large\reverse \qquad\int_{0}^{1}\left (\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x}+\sqrt[3]{x^3-1}\right )\mathrm{d}x.\qquad\nl $](/mathtex/83/837958cee2550c7315d01ae34fe94991.gif "kopírovat do textarea")
Offline
#2 14. 01. 2011 10:41
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Riemannův určitý integrál
![$f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x}+\sqrt[3]{x^3-1}$](/mathtex/1d/1d523e066ed18b8e0c3c0ff71ebd9f41.gif "kopírovat do textarea")
.
. Použiju substituci 
.![$\int_0^{\frac12}f(x)\mathrm{d}x=\nl \int_{0}^{\frac12}\(\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x}+\sqrt[3]{x^3-1}\)\mathrm{d}x=\nl =\int_{\frac12}^{1}\(\sqrt[3]{(1-t)^3-3(1-t)^2+3(1-t)}+\sqrt[3]{(1-t)^3-1}\)\mathrm{d}t=\nl =\int_{\frac12}^{1}\(\sqrt[3]{-t^3+1}+\sqrt[3]{-t^3+3t^2-3t}\)\mathrm{d}t=\nl =-\int_{\frac12}^{1}\(\sqrt[3]{t^3-1}+\sqrt[3]{t^3-3t^2+3t}\)\mathrm{d}t=\nl =-\int_{\frac12}^1f(x)\mathrm{d}x$](/mathtex/59/59e7713f69405abe8c2fa77add6ea26f.gif "kopírovat do textarea")
.Offline
#3 19. 01. 2011 09:47
- Marian
- Místo: Mosty u Jablunkova
- Příspěvky: 2512
- Škola: OU
- Pozice: OA, VSB-TUO
- Reputace: 67
Re: Riemannův určitý integrál
↑ BrozekP: Postupoval jsem jinak. Stačí si uvědomit, že platí
![$f(x):=\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x}=\sqrt[3]{(x-1)^3+1}.$](/mathtex/8a/8a00e4a71662d439c0a41c37c8853fe3.gif "kopírovat do textarea")
je prostá na intervalu ![$[0,1]$](/mathtex/52/520897da7413e2014a7783a154b21dba.gif "kopírovat do textarea")
a tudíž invertibilní. Její inverze má tvar![$f_{-1}(x)=\sqrt[3]{x^3-1}+1$](/mathtex/1b/1beabfdeb8edad2faa7cdbf205f26253.gif "kopírovat do textarea")
. 
a 
, podobně ovšem pro inverzní funkci. Vzhledem ke geometrické interpretaci Riemannova integrálu je zřejmé, že jednotkový čtverec s levým dolním rohem v počátku soustavy souřadnic je rozdělen křivkou 
na dvě části. Velikosti obsahu části pod touto křivkou je dána integrálem
Offline
#4 12. 02. 2011 00:15
- byk7
- InQuisitor
- Příspěvky: 4713
- Reputace: 221
Re: Riemannův určitý integrál
Jenom dotaz, všiml jsem si, že inverzní funkci označujete 
na místo (řekl bych) používanějšího 
.
To proto aby nedošlo k záměně inverzní funkce a převrácené hodnoty 
?
Nebo to má ještě jiný smysl?
Děkuji
Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.
Offline
#5 12. 02. 2011 13:41
- Marian
- Místo: Mosty u Jablunkova
- Příspěvky: 2512
- Škola: OU
- Pozice: OA, VSB-TUO
- Reputace: 67
Re: Riemannův určitý integrál
↑ byk7:
Ano, je to tak, jak popisuješ. Používat v jedné (rozuměj "jediné") matematické práci smybol "-1" v exponentu vpravo nahoře pro inverzi funkce a pro reciprokou hodnotu sučasně, je mi proti srsti již dlouho.
Osobně nevidím v označení, které používám, nic zákeřného. Ale jsem moc rád za poznámku, která se vyskytla. Rád bych znal názor ostatních na tuto věc (zřejmě se může otevřít diskuse v jiném vlákně). Jsem si při každém užití této symboliky vědom rozporu s označením více standardním.
Offline
![$
\int_{0}^{1} \left(\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x}\right)\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \left(\sqrt[3]{(x-1)^3+1}\right) \mathrm{d}x = \dots
$](/mathtex/da/da3f4d54043396db73b8c560968aa6c5.gif "kopírovat do textarea")
:![$
\dots = - \int_{0}^{1} \left(\sqrt[3]{t^3 - 1}\right) \mathrm{d}t.
$](/mathtex/f0/f060db8a1ed2cfceff80f8976ba690ac.gif "kopírovat do textarea")
.