Matematické Fórum

Hanis · 30. 06. 2011 14:58

Zadání: Součet dvou čísel je 100. Dělíme-li první číslo sedmi, dostaneme stejný výsledek, jako když druhé číslo vydělíme osmnácti.
Řešení: Označíme první číslo x, druhé y. Pak zřejmě platí:
$x+y=100$
$\frac{x}{7}=\frac{y}{18}$

Řešíme tedy soustavu rovnic:

$x+y=100\Rightarrow x=100-y$
$18x=7y$

$18(100-y)=7y$
$1800-18y=7y$
$1800=25y$
$y=72$

$18x=7*72$
$x=28$

Hanis · 30. 06. 2011 14:59

Zadání: Výraz s nenulovými reálnými proměnnými x,y maximálně zjednodušte: $(x^2y)^3(xy^3)^{-3}$
Řešení:
$(x^2y)^3(xy^3)^{-3}=x^6y^3x^{-3}y^{-9}=x^3y^{-6}=\frac{x^3}{y^6}$

Hanis · 30. 06. 2011 14:59 — Editoval Hanis (30. 06. 2011 14:59)

Zadání: Výraz s proměnnou $y\in R-\{-2;0\}$ maximálně zjednodušte:
Řešení: $\frac{y-\frac{4}{y}}{\frac{4}{y}+2}=\frac{\frac{y^2-4}{y}}{\frac{4+2y}{y}}=\frac{y(y^2-4)}{y(4+2y)}=\frac{(y+2)(y-2)}{2(y+2)}=\frac{y-2}{2}$

Hanis · 30. 06. 2011 15:00

Zadání: Pro $y\neq3$ platí předpis $x=\frac{2+y}{3-y}$ . Z předpisu vyjádřete proměnnou y pro $x\in R-\{-1\}$ .
Řešení:
$x=\frac{2+y}{3-y}$
$(3-y)x=2+y$
$3x-xy-y=2$
$-xy-y=2-3x$
$y(-x-1)=2-3x$
$y=\frac{2-3x}{-(x+1)}=\frac{3x-2}{x+1}$

Hanis · 30. 06. 2011 15:02 — Editoval Hanis (30. 06. 2011 15:14)

Zadání: Určete reálné číslo r v zápisu rovnoběžných přímek p a q, jestliže platí:
$p:(r+2)x+y=0$
$q:8x+ry-3=0$
Uveďte všechna řešení.
Řešení:
Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, když jejich normálové vektory jsou lineárně závislé.
normálový vektor přímky $n_p=\vec{p}=(r+2;1)$
normálový vektor přímky $n_q=\vec{q}=(8;r)$
Tyto vektory musí být lineárně závislé, tedy
$\vec{p}=k\vec{q}$
$r+2=8k$
$1=rk\Rightarrow k=\frac{1}{r}$

$r+2=\frac{8}{r}$
$r^2+2r-8=0$
$(r+4)(r-2)=0$
$r_1=-4 \vee r_2=2$

Hanis · 30. 06. 2011 15:04 — Editoval Hanis (30. 06. 2011 15:16)

Zadání:V intervalu $<0;2\pi)$ najděte všechan řešení rovnice: $(\sin x-0,5)^2=1$
Řešení:Substituce $\sin x=a$
$(a-0,5)^2=1$
$a^2-a+\frac14=1$
$a^2-a-\frac34=0$
$D=1-4\left(-\frac34\right)=1+3=4$ $\sqrt{D}=\sqrt4=2$
$a_{1,2}=\frac{1\pm2}{2}$
$a_1=\frac32$
$a_2=-\frac12$
Resubstituce:
$\sin x_1=\frac32$
Obor hodnot fce sinus je $<-1;1>$ , tedy rovnice $\sin x_1=\frac32$ nemá řešení.
$\sin x_2=-\frac12$
Víme, že fce sinx nabývá záporných hodnot v III. a IV, kvadrantu, dále víme, že $\sin\frac{\pi}6=\frac12$ .
Tedy $x_2=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6} \vee x_2=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$

Hanis · 30. 06. 2011 17:42 — Editoval Hanis (30. 06. 2011 17:59)

Zadání: Ve firmě jsou zaměstnanci rozděleni do tří skupin. V první skupině, v níž je 12% zaměstnanců, je průměrný měsíční plat 40000Kč, ve druhé skupině 35000Kč a ve třetí skupině 25000Kč. Průměrný měsíční plat všech zaměstnanců firmy je 33000Kč.
Kolik % zaměstnanců je ve třetí skupině?

Řešení:Označme:
x - jaká část zaměstnanců je ve druhé skupině
y - jaká část zaměstnanců je ve třetí skupině
V první skupině je 12%=0,12. Je zřejmé, že musí platit $0,12+x+y=1$
Dále použijeme vtah pro vážený průměr: $\frac{0,12*40000+35000x+25000z}{0,12+x+y}=\frac{0,12*40000+35000x+25000y}{1}=33000$
Řešíme tedy soustavu rovnic:
$0,12+x+y=1 \Rightarrow x=0,88-y$
$0,12*40000+35000x+25000y=33000$

$0,12*40000+35000(0,88-y)+25000y=33000$
$4800+30800-35000y+25000y=33000$
$2600=10000y$
$y=0,26=26\%$

Hanis · 30. 06. 2011 18:02 — Editoval Hanis (24. 04. 2012 23:09)

Zadání:Nekonečná posloupnost $(a_n)^{\infty}_{n=1}; n\in N$ je určena prvním členem $a_1=0$ a rekurentním vztahem: $a_{n+1}=qa_n+4$
Řešení:
1.) Vyjádřete další tři členy $a_2,a_3,a_4$ v závislosti na veličinách $a_1;q$ a výrazy upravte tak, aby neobsahovaly závorky.

$a_2=qa_1+4=0q+4=4$
$a_3=qa_2+4=q(qa_1+4)+4=q^2a_1+4q+4=4q+4$
$a_4=qa_3+4=q(q^2a_1+4q+4)+4=q^3a_1+4q^2+4q+4=4q^2+4q+4$

2.)Určete všechny reálné hodnoty q, pro níž je posloupnost $(a_n)^{\infty}_{n=1}$ konvergentní.
Odvodíme si vzorec pro n-tý člen.
$a_3=4(q+1)$
$a_4=4(q^2+q+1)$
$...$
$a_n=4(q^{n-2}+q^{n-3}+...+1)$
V závorce je částečný součet členů geometrické posloupnosti. Tato geometrická řada je konvergentní, pokud |q|<1
3.) Pro $q=-\frac12$ vypočtěte $\lim_{n\to\infty} a_n$ .

Pro q=-1/2 dostáváme:
$\lim_{n\to\infty} a_n=4\underbrace{(1+$-\frac12$+$-\frac12$^2+$-\frac12$^3+...}_{\text{NGŘ}})$

Tato NGŘ je konvergentní, protože |q|=0,5<1, proto existuje součet: $s=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1+\frac32}=\frac23$

$\lim_{n\to\infty} a_n=4s=4\cdot\frac23=\frac83$

Phate · 30. 06. 2011 19:49

Hanis mozna by bylo dobre vzdy psat cislo ulohy, uz tak je tu celkem zmatek. Kdyztak tenhle post pak smazte, at tu nezavazi.

Honzc · 01. 07. 2011 10:44 — Editoval Honzc (01. 07. 2011 10:44)

↑ ((:-)):
Jak vypadá zadání?
Já jsem včera na www.tn.cz stáhl také maturity 2011 -vyší obtížnost a tam je úloh pouze 21, přičemž některé jsou stejné jako tady, ale některé ne.

Annnnnd

to na tn.cz byla ta cvicna verze co vydal cermat. toto co se resi v tematu to je ta co byla ted u maturit nebo jinak receno "ostra verze" kterou meli matutanti. a pak je ta s PUP "Matematika vyssi pro zaky s priznanym uzpusobenim podminek". a priklady odpovidaji narocnosti te normalni vyssi verzi (ta co je v tomto tematu vyresena) a i bych rekl ze nektere priklady sou tezsi, takze nechapu proc to takhle komplikuji, nicmene vcera jsem ji resil tak mohu sem hodit reseni nejake.

Annnnnd

MATEMATIKA 2011 VYŠŠÍ ÚROVEŇ OBTÍŽNOSTI (PRO ŽÁKY S PŘIZNANÝM UZPŮSOBENÍM PODMÍNEK); KÓD TESTU: MAMVD11C0T03

Úloha 1;2
Zadání:

Matematické Fórum

#1 30. 06. 2011 14:58

Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#2 30. 06. 2011 14:59

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#3 30. 06. 2011 14:59 — Editoval Hanis (30. 06. 2011 14:59)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#4 30. 06. 2011 15:00

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#5 30. 06. 2011 15:02 — Editoval Hanis (30. 06. 2011 15:14)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#6 30. 06. 2011 15:04 — Editoval Hanis (30. 06. 2011 15:16)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#7 30. 06. 2011 17:42 — Editoval Hanis (30. 06. 2011 17:59)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#8 30. 06. 2011 18:02 — Editoval Hanis (24. 04. 2012 23:09)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#9 30. 06. 2011 19:49

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#10 01. 07. 2011 10:44 — Editoval Honzc (01. 07. 2011 10:44)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#11 01. 07. 2011 11:48 — Editoval Annnnnd (01. 07. 2011 11:51)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#12 02. 07. 2011 18:34 — Editoval Annnnnd (02. 07. 2011 18:40)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#13 02. 07. 2011 18:40

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#14 02. 07. 2011 18:42

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#15 02. 07. 2011 19:19 — Editoval Annnnnd (02. 07. 2011 19:58)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#16 02. 07. 2011 19:33

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#17 08. 07. 2011 10:07 — Editoval Cheop (08. 07. 2011 10:28)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost

#18 11. 07. 2011 08:56 — Editoval Cheop (11. 07. 2011 14:37)

Re: Řešení státní maturity 2011 vyšší obtížnost