Matematické Fórum

Alenka.Janská · 13. 07. 2011 13:25

ahoj, jedna rovnice mi vyšla skutečně hezky, ale řešení má být průnik množin (-1,1)
ne to co mi vyšlo...

už fakt nevím co s tím

((:-)) · 13. 07. 2011 13:28 — Editoval ((:-)) (13. 07. 2011 14:35)

↑ Alenka.Janská:

Riešením tejto rovnice je každé reálne číslo okrem -1 a 1. Riešil Ti ju už Cheop v niektorom predchádzajúcom príspevku.

Odkaz

Prečo dávaš dvakrát tú istú rovnicu?

Tvoja chyba: v druhom riadku pred číslom 2 má byť +.

Platí totiž, že $\color{magenta}(1-z)(1+z) = 1-z^2$ a menovateľ druhého zlomku je $\color{blue}z^2 - 1$ ,

to sú presne opačné znamienka, takže treba vyňať -1 a tá zmení znamienko pred zlomkom na + $\color{blue}z^2- 1 = \color{red}-1\color{magenta}(1-z^2)$

Ďalej:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

zdenek1 · 13. 07. 2011 13:33

↑ Alenka.Janská:
$\frac{6-z}{1+z}-\frac{2(4z-3)}{z^2-1}=\frac{z}{1-z}$ podmínky: $z\neq\pm1$
$\frac{6-z}{1+z}\color{red}+\color{black}\frac{2(4z-3)}{1-z^2}=\frac{z}{1-z}\qquad |\cdot(1+z)(1-z)$
$(6-z)(1-z)+2(4z-3)=z(1+z)$
$6-z-6z+z^2+8z-6=z+z^2$
$0=0$

Řešení: $x\in\mathbb R\setminus\{\pm1\}$

Rumburak

↑ Alenka.Janská:
Už po několikáté v podstatě stále tatáž chyba. Rozeberme to hodně podrobně:

Na levé straně je druhým zlomkem $V: = -\frac{2(4z-3)}{z^2 -1}$ (beru ho včetně předcházejícího znaménka "minus"),
jehož jmenovatele $z^2 -1$ můžeme rozložit na součin $(z-1)(z+1)$ , takže

$V = -\frac{2(4z-3)}{(z-1)(z+1)}$

Po vynásobění výrazem $(1+z)(1-z)$ dostaneme

(1) $W:= V\cdot (1+z)(1-z) = -\frac{2(4z-3)\cdot (1+z)(1-z)}{(z-1)(z+1)}$ .

Ve zlomku na pravé straně v (1) můžeme bezprostředně vykrátit činitel $1+z$ v čitateli s činitelem $z +1$ ve jmenovateli,
protože podle komutativního zákona pro sčítání je $1+z = z +1$ . Tímto opravdu triviálním vykrácením obdržíme

(2) $W = -\frac{2(4z-3)\cdot (1-z)}{(z-1)}$ .

Pokud máme něčím krátit zlomek na pravé straně v (2), pak už to nebude tak jednoduché jako prve, protože žádný činitel v čitateli není
bezprostředně přítomen ve jmenovateli. Takovou situaci zde ale přesto můžeme navodit, a sice pomocnou úpravou prostřednictvím
rovnosti $1 - z = (-1)(z - 1)$ :

(3) $W = -\frac{2(4z-3)\cdot (1-z)}{(z-1)} = -\frac{2(4z-3)\cdot (-1)(z-1)}{(z-1)}$ .

Nyní už krátit můžeme, a sice výrazem $z-1$ :

$W = -\frac{2(4z-3)\cdot (-1)}{1} = - 2(4z-3)\cdot (-1) =(-1)\cdot 2(4z-3)\cdot (-1) = \\=(-1)^2\cdot 2(4z-3) = 1\cdot 2(4z-3) = 2(4z-3)$ .

(Všimni si, že znaménko "minus" zmizelo.)

POZNÁMKA: Komutativní zákon platí pro sčítání a násobení, avšak NEPLATÍ pro odčítání ani pro dělení.