Matematické Fórum

Zbyšek · 03. 08. 2008 18:48

Chtěl bych se zeptat jak vyřeším tuto nerovnici pomocí nulových bodů.Díky za pomoc.
$\frac{x+1}{x-3}-\frac{2-x}{x+3}=\ge2$

ttopi · 03. 08. 2008 19:33 — Editoval ttopi (03. 08. 2008 19:39)

Já to řešil normálními úpravami a vyšlo mi $x\le27$ .

Metoda nulových bodů by mohla být metoda, při které se neorvnice upraví na takový tvar, aby byla součinem závorek a na druhé straně 0. Pak se nulové body rovnají těm číslům, která po dosazení do závorek dávají 0.

Dám vymyšlený příklad.
$(x+3)\cdot (x-2)\ge0$

Tady jsou nulové body -3 a 2. Pak se řeší intervali mezi - nekonečnem;-3;2 a +nekonečnem.

EDIT: Tak ten výsledek je špatně, ještě se na to podívám.

Ivana · 03. 08. 2008 19:37

↑ ttopi:Zdravím , byl jsi rychlejší , výsledek mám stejný . Ted' ještě přemýšlím proč by se měla tato nerovnice řešit metodou nulových bodů ? :-)

ttopi · 03. 08. 2008 19:47 — Editoval ttopi (03. 08. 2008 19:50)

↑ Ivana:

Ahoj :-)

Zkus dosadit x=1, mě to nějak nevychází, možná až moc přemýšlím :-)

Taky nevím. Takto je to mnohem jednoduší :-)

EDIT: Tak Pavel nám dal školu :-)

Pavel · 03. 08. 2008 19:48

Nejdříve upravme nerovnici tak, aby na jedné straně byl podíl a na druhé 0. Takže

$\begin{align*} \frac{x+1}{x-3}-\frac{2-x}{x+3}&\geq 2\nl \frac{(x+1)(x+3)-(2-x)(x-3)}{(x-3)(x+3)}-2&\geq 0\nl \frac{x^2+4x+3+x^2-5x+6}{(x-3)(x+3)}-2&\geq 0\nl \frac{2x^2-x+9-2x^2+18}{(x-3)(x+3)}&\geq 0\nl \frac{-x+27}{(x-3)(x+3)}&\geq 0 \end{align*}$

Nulovými body nazvěme reálná čísla, po jejichž dosazení se čitatel nebo jmenovatel rovná 0. Množinu všech reálných čísel zapsanou pomocí intervalu $(-\infty,\,\infty)$ rozdělíme pomocí nulových bodů (v našem případě 3, -3 a 27) na několik podintervalů a to tímto způsobem:

- nulové body, pro které je jmenovatel roven 0 z podintevalů vyloučíme
- nulové body, pro které je čitatel roven 0 z podintervalů vyloučíme tehdy, pokud řešíme "ostrou" nerovnost, tj. se znaménkem $<$ , nebo $>$ . V případě "neostré" nerovnosti ( $\geq$ resp. $\leq$ ) budeme s těmito body v podintervalech počítat.

V našem případě rozdělíme množinu reálných čísel na tyto intervaly: $(-\infty,\,-3)$ , $(-3,\,3)$ , $(3,\,27\rangle$ , $\langle 27,\,\infty)$ . Určeme dále znaménko čitatele a jmenovatele na jednotlivých intervalech tím, že dosadíme libovolný vnitřní bod z příslušného intervalu do výrazu na levé straně nerovnosti.

1. V intervalu $(-\infty,\,-3)$ zvolme např. -4 a dosaďme do levé strany. Dostáváme $\frac{+}{-\cdot -}$ , čitatel je kladný a jmenovatel kladný ( $-\cdot -=+$ ), a tedy celý zlomek je kladný.

2. V intervalu $(-3,\,3)$ zvolme např. 0 a dosaďme do levé strany. Dostáváme $\frac{+}{-\cdot +}$ , čitatel je kladný a jmenovatel záporný ( $-\cdot +=-$ ), a tedy celý zlomek je záporný.

3. V intervalu $(3,\,27\rangle$ zvolme např. 10 a dosaďme do levé strany. Dostáváme $\frac{+}{+\cdot +}$ , čitatel je kladný a jmenovatel kladný ( $+\cdot +=+$ ), a tedy celý zlomek je kladný.

4. V intervalu $\langle 27,\,\infty)$ zvolme např. 30 a dosaďme do levé strany. Dostáváme $\frac{-}{+\cdot +}$ , čitatel je záporný a jmenovatel kladný ( $+\cdot +=+$ ), a tedy celý zlomek je záporný.

Nerovnici $\frac{-x+27}{(x-3)(x+3)}\geq 0$ jsme tedy řešili tak, že jsme hledali reálná čísla, pro něž je výraz $\frac{-x+27}{(x-3)(x+3)}$ kladný nebo nulový. Ze "znaménkové diskuze" vyplývá, že tomuto vyhovují reálná čísla náležící intervalům $(-\infty,\,-3)$ a $(3,\,27\rangle$ , tedy

$x\in(-\infty,\,-3)\cup(3,\,27\rangle$ .

jelena · 03. 08. 2008 23:37

↑ Ivana:, ↑ ttopi:

Zdravím vás :-)

Možné důvody, že vaše řešení nebylo uplně kompletní jsou asi:

- podstatný důvod - v letě máte nárok na odpočinek :-)

- méně podstatný důvod - ze základní školy se přenáší "takový skoro bych řekl(a) ...nepěkná věc" - násobení jmenovatelem při řešení rovnic s neznamou v jmenovateli.

Potom na střední se to musí napravovat u nerovnic. Já to řeším u mnou doučovaných takto - hned u rovnic s neznamou v jmenovateli zakazuji nasobit jmenovatelem a trvám na tom, aby rovnice převáděli do anulovaného tvaru, pak aby napsali podmínku, kdy zlomek bude 0 (čitatel 0, jmenovatel nesmí být 0). Brblají, že to ve škole není potřeba, ale na tom trvám.

Potom u nerovnic už takový problém nemusím řešit, už nenásobí, ale rovnou převádějí do anulovaných tvarů. A jen doladím tabulku (znamenka).

Dokonce jsem byla dřív tak tvrdá, že meli zapisovat cely výrok, kdy zlomek nabývá třeba kladných hodnot, ve smyslu " kdyz... vetší a zároveň ..... větší nebo ...menší a zároveň ... menší", ale od toho už jsem opustila :-( Ale to je z jiného tématu :-)

Jinak tady na foru je hodně vyřešených nerovnic jak součinových, tak i podilových (a určitě i od vás, pěkně vyřešených :-).

Tak si užívejte odpočinku a mějte se pekně :-)

Zbyšek · 04. 08. 2008 01:26

Pěkné řešení díky, prázdnim bych si rád užíval, ale připravuju se na reparát z matematiky.Bůh se mnou =p

ttopi · 04. 08. 2008 12:07

↑ jelena:

Ahoj. Jak říkám, PAvel nám dal oběma školu :-)

Zbyšek · 06. 08. 2008 13:39

Mám tu takovej zapeklitej příklad, kterej mi zůstal z jednoho cvičení a nedaří se mi u něj dobrat ke správnému výsledku.Nejspíš dělám někde chybu v postupu.Díky za pomoc.
Rešte R v nerovnici:
$\frac{2x-1}{x}\le\frac{2x+3}{x-2}$

lukaszh

↑ Zbyšek:
Keďže $x\in\mathbb{R}$ , potom sa nerovnica nesmie rieši? prenásobením ako rovnica. Úpravami dostaneš:

Treba si stanovi? nulové body:
$x_1=\frac{1}{4}\,;\,\, x_2=0\,;\,\, x_3=2$
Nerovnicu si zapíšem v tvare $f(x)\leq0$ , iba pre uľahčenie zápisov :-) Teraz si rozpíšeš jednotlivé intervaly podľa nulových bodov a zistím, kde f(x) nadobúda kladné, resp. záporné hodnoty. My však podľa zadania potrebujeme hodnoty záporné nanajvýš rovné nule:
$x\in(-\infty;\,0)\Rightarrow f(x)>0\nl x\in\left(0;\,\frac{1}{4}\right\rangle\Rightarrow f(x)\leq0\nl x\in\left(\frac{1}{4};\,2\right)\Rightarrow f(x)>0\nl x\in(2;+\infty)\Rightarrow f(x)<0$
Odtiaľ vyplýva, že $x\in\left(0;\,\frac{1}{4}\right\rangle\cup(2;\,+\infty)$ aby bola splnená podmienka zo zadania.

Zbyšek · 06. 08. 2008 15:32

Moje znalosti jsou dost chatrný, právě bych potřeboval ukázat jakým postupem se dostanu od horní neupravené nerovnice k té spodní z které už jednoduše získám nulové body.Díky

Kondr · 06. 08. 2008 16:37

↑ Zbyšek:Dokud je v čitateli co roznásobovat, roznásobuj. Až tam nejsou žádné závorky, zbude tam většinou lineární dvojčlen:
ax+b
nebo kvadratický trojčlen:
ax^2+bx+c,
případně polynom většího stupně.
Nulové body jsou pak kořeny tohoto polynomu, v prvním případě tedy -b/a, ve druhém $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .
V případě polynomů vyššího stupně se na to musí nějak fikaně, ale to tě na běžné střední škole nepotká (a pokud jo, tak si možná vzpomeneš na postup hledání racionálních kořenů polynomu).

lukaszh · 06. 08. 2008 17:57

↑ Zbyšek:

zidulin · 13. 08. 2008 16:02

Určete množinu všech řešení nerovnice

3+|x-2|>2+2|x-2|

jelena · 13. 08. 2008 16:19

↑ zidulin:

Zdravím :-)

Prosím:
1) pro novou otázku nové samostatné téma, jinak je to nepřehledné.
2) není nutné nařízovat způsobem "Určete množinu ..." - lepší je sdělit pro ostatní, co potřebuješ vysvětlit a v čem je problém při řešení

Děkuji :-)

Máš nerovnici s absolutní hodnotou - nejdřív je potřeba trochu upravit:

|x-2|-2|x-2|>2-3

-|x-2|>-1 (násobím (-1) - změním "vetší" na "menší")

|x-2|<1 ted je potřeba řešit buď graficky nebo odstaraněním absolutní hodnoty pomocí nulového bodu x= 2

Nerovnic s absolutní hodnotou je tada na foru hodně - zkus projit odkazy :

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=1621

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=2110

Hodně zdaru :-)

nugsarka · 07. 06. 2009 19:31

[re]p23351|Pavel[

Vypočítat to umím také, ale pak to zobrazit na číselnou osu, s tím si nevím rady.Poraďte.

Matematické Fórum

#1 03. 08. 2008 18:48

Nerovnice, nulové body

#2 03. 08. 2008 19:33 — Editoval ttopi (03. 08. 2008 19:39)

Re: Nerovnice, nulové body

#3 03. 08. 2008 19:37

Re: Nerovnice, nulové body

#4 03. 08. 2008 19:47 — Editoval ttopi (03. 08. 2008 19:50)

Re: Nerovnice, nulové body

#5 03. 08. 2008 19:48

Re: Nerovnice, nulové body

#6 03. 08. 2008 23:37

Re: Nerovnice, nulové body

#7 04. 08. 2008 01:26

Re: Nerovnice, nulové body

#8 04. 08. 2008 12:07

Re: Nerovnice, nulové body

#9 06. 08. 2008 13:39

Re: Nerovnice, nulové body

#10 06. 08. 2008 14:10 — Editoval lukaszh (06. 08. 2008 14:16)

Re: Nerovnice, nulové body

#11 06. 08. 2008 15:32

Re: Nerovnice, nulové body

#12 06. 08. 2008 16:37

Re: Nerovnice, nulové body

#13 06. 08. 2008 17:57

Re: Nerovnice, nulové body

#14 13. 08. 2008 16:02

Re: Nerovnice, nulové body

#15 13. 08. 2008 16:19

Re: Nerovnice, nulové body

#16 07. 06. 2009 19:31

Re: Nerovnice, nulové body

Zápatí