Matematické Fórum

leniczcha · 22. 10. 2007 09:25

leniczcha · 22. 10. 2007 13:53

Řešení by ale mělo být takové:

Kondr · 22. 10. 2007 15:18

Ufff, to jsem zase něco zvoral... díky za upozornění.

Protože se jedná o součin omezené posloupnosti (-1)^n a posloupnosti jdoucí k nule, je limita celé posloupnosti nula, posloupnost je proto omezená, má minimum, má maximum a tyto hodnoty jsou rovnysuprému resp. infimu.

Takže jak na to?
Rozebereme to na dvě posloupnosti: posloupnost prvků s lichými indexy a posloupnost se sudými.
První je $\frac{8-4n}{n^2+14n+45}=\frac{8-4n}{(n+9)(n+5)$ , druhá
$\frac{4n-8}{n^2+14n+45}$ .

Zkusme zjistit, kde posloupnost roste a kde klesá
$a_{n}-a_{n-2}=\frac{8-4n}{(n+9)(n+5)}-\frac{16-4n}{(n+7)(n+3)}$
Tento výraz upravíme na podíl součinů lineárních výrazů, z toho odvodíme, kde vybraná podposloupnost klesá/stoupá. Pokud se mění stoupání na klesání, jedná se o lokální maximum, pokud klesání na stoupání, jedná se o lokální minimum. Za n můžeme dosazovat jen lichá čísla.

To samé uděláme pro druhou podposloupnost, globální maximum je pak největší ze všech lokálních maxim, globální minimum nejmenší z lokálních minim.

leniczcha · 22. 10. 2007 21:08

Z toho zápisu mi vůbec není jasné, jak došli k těm konkrétním číselným hodnotám.

Kondr · 22. 10. 2007 22:09

že je limita nulová a posloupnost tudíž konvergentní je zřejmé? Pokud ne tak napiš, ale já to tu teď podrobně zdůvodňovat nebudu, zmíním se hlavně o těch suprémech a infimech

Takže když máme tu diferenci podposloupnosti s lichými indexy:

$a_{n}-a_{n-2}=\frac{8-4n}{(n+9)(n+5)}-\frac{16-4n}{(n+7)(n+3)}=\frac{8(n^2-6n-69)}{(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)} =\frac{8((n-3)^2-78)}{(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)}$ ,
vidíme, že jmenovatel je kladný vždy, čitatel je pro n=3,5,9,11 záporný, pro n=13 a více kladný. Podposloupnost tedy klesá až do indexu 11, pak začne růst a roste až k dané limitě, kterou je číslo 0. Minimum a současně infimum dané podposlouposti je a_11=-9/80. Protože oběma směry od tohoto indexu posloupnost roste, mohou nastat dva případy:
1)m_1 je větší ne bebo rovno limitě pro index jsoucí do nekonečna - pak je m_1 suprémum i maximum
2)m_1 je menší než tato limita - pak je limita suprémum a maximum neexistuje
Protože limita je 0 a m_1 je 1/15, nastává první případ.

Podobně rozebereme druhou podposloupnost. Její diference se liší jen znaménkem:

$a_{n}-a_{n-2}=-\frac{8((n-3)^2-78)}{(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)}$ . Je proto kladná pro n=4, 6, 8, 10 a záporná pro n=12 a více, podposloupnost tedy až do indexu 10 roste a pak klesá. Maximum a současně suprémum zde nastává pro n=10, a_10=32/285. Abychom určili infimum a minimum, musíme opět porovnat první člen s limitou. Protože je oboje rovno nule, je nula nejen infimum ale i minimum dané podposloupnosti.

Máme tak dvě podposloupnosti, pro každou maximum a minimum. Minimum celé posloupnosti je menší ze dvou minim (-9/80<0), maximum celé posloupnosti je větší ze dvou maxim (32/285>1/15).

Romajzl · 05. 11. 2009 11:44

Nevíte někdo, kde bych našla polopatě vysvětleno, co je to suprémum a infimum? Jak to, že prázdná množina má suprémum -ležatá osmička a infimum + ležatá osmička ? A (nesmějte se mi, prosím) co to znamená {6} u (1,5). To u jsem užila, jelikož nevím, jak napsat takovou tu kolíbku. Díky moc.

Tychi · 05. 11. 2009 12:03

↑ Romajzl: to tvé u je sjednocení. Pokud budu brát interval (1,5) jako interval pouze celých čísel, pak sjednocení {6} u (1,5) jsou čísla 2,3,4,6

Šerlok Homeless · 07. 11. 2009 12:50

↑ Romajzl:
U čísel:

Suprémum nějaké množiny čísel A čísel je nejmenší ze všech horních závor množiny A. Horní závora množiny A je každé číslo $x \in <-\infty,+\infty>$ takové, že pro žádné číslo patřící A neplatí
a > $x$ .

Infimum nějaké množiny čísel A čísel je největší ze všech dolních závor množiny A. Dolní závora množiny A je každé číslo $x \in <-\infty,+\infty>$ takové, že pro žádné číslo a patřící do A neplatí
a < $x$ .

Pokud má množina A maximum, resp. minimum, potom je toto maximum rovno jejímu supremu, resp. minimum rovno jejímu infimu.

Pokud se týče prázdné množiny :

Ta neobsahuje žádný prvek, takže ať vezmeme číslo $x \in <-\infty,+\infty>$ jakékoli, v $\empty$ neexistuje žádné a, pro které by platilo a> $x$ (tudíž všechna čísla $x \in <-\infty,+\infty>$ jsou horními závorami $\empty$ . Nejmenší z nich je $-\infty$ , a to je tedy suprémem prázdné množiny.

A ať vezmeme číslo $x \in <-\infty,+\infty>$ jakékoli, v $\empty$ neexistuje žádné a, pro které by platilo a< $x$ (tudíž všechna čísla $x \in <-\infty,+\infty>$ jsou dolními závorami $\empty$ . Největší z nich je $+\infty$ , a to je tedy infimem $\empty$ .

Šerlok Homeless · 07. 11. 2009 18:34

↑ Romajzl:
Jo, ale to jsem definoval suprémum a infimum tak, "aby to vyšlo". Jinak se samozřejmě definuje suprémum a infimum jen pro neprázdné množiny reálných čísel, a to tak, že suprémum množiny A je nejmenší ze všech čísel větších nebo rovných kterémukoliv číslu z A a infimum je největší ze všech čísel, pro která platí, že jsou menší nebo rovna kterémukoliv číslu z A.

Takže opět, suprémum A je nejmenší horní a infimum největší dolní závora A, ale horní závora A je kterékoliv číslo větší nebo rovné než všecka čísla z A a dolní závora A je kterékoliv číslo menší nebo rovné kterémukoliv číslu z A. Suprémum a infimum prázdné množiny se pak dá dodefinovat,když je potřeba (většinou není).

Romajzl · 08. 11. 2009 09:07

↑ Šerlok Homeless:

Krásně jsi mi to objasnil, díky moc. Teď už s tím určitě nebudu mít problém.

Romajzl · 08. 11. 2009 09:08

↑ Tychi:

Děkuji za vysvětlení.

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2007 09:25

Supremum a infimum

#2 22. 10. 2007 13:53

Re: Supremum a infimum

#3 22. 10. 2007 15:18

Re: Supremum a infimum

#4 22. 10. 2007 21:08

Re: Supremum a infimum

#5 22. 10. 2007 22:09

Re: Supremum a infimum

#6 05. 11. 2009 11:44

Re: Supremum a infimum

#7 05. 11. 2009 12:03

Re: Supremum a infimum

#8 07. 11. 2009 12:50

Re: Supremum a infimum

#9 07. 11. 2009 18:34

Re: Supremum a infimum

#10 08. 11. 2009 09:07

Re: Supremum a infimum

#11 08. 11. 2009 09:08

Re: Supremum a infimum