Matematické Fórum

↑ hfungus: Poněkud stručné řešení. Zkus to trochu rozvést, nejlépe použij funkci "skrýt".

↑ hfungus: Ahoj. Tvé řešení je bohužel špatně. Chyný krok je v tom, že předpokládáš v kroku 2, že střed kružice vepsané X leží na přímce CS (na těžnici ke straně c), což ale obecně vůbec nemusí být pravda. Bod X leží na ose úhlu ACB, ne na těžnici z vrcholu C. Zkoušej dál, určitě na to přijdeš.

↑ Anonymystik:

Tak řešení mám, ale neodpovídá tvým nápovědám:)

↑ Wotton: Ahoj. Máš to dobře a jsem rád, že jsi našel trochu jiné řešení něž to moje. V podstatě ale s tím mým úzce souvisí. Jinak mi ale není zřejmý čtvrtý krok, kde tvrdíš, že střed kružnice vepsané musí ležet na přímce q. Skutečně je tomu tak, pouze bych tento krok více rozepsal (resp. zdůvodnil jeho správnost).

↑ Wotton: Ahoj. Myslím, že tahle úloha s přecejen zaslouží dodatek, protože je velice zajímavá a spoustu jsem se toho z ní naučil. Ukážu nejdřív to své řešení a pak odsud odvodím, že i to tvoje je korektní. Body T, U (dotyky kružnice vepsané a opsané na straně AB) jsou souměrné podle středu S strany AB, to je celkem jasné (a kdyby někdo nevěděl proč, dá se to dokázat metodou počítání tečen). První krok v konstrukci je tedy bod U jako obraz bodu T ve středové souměrnosti podle S

Kružnice vepsaná a opsaná jsou stejnolehlé podle středu C. Bod U je kružnice připsané "nahoře", takže bod jeho obraz ve zmíněné stejnolehlosti se zobrazí na bod D též "nahoře". Protože bod T je na stejné kružnici "dole", tak DT je průměr kružnice. Proto kolmice z bodu T na přímku ST a přímka CU se protnou v bodě D. Další krok je tedy najít bod D.

No a známe-li oba body D, T, známe průměr kružnice vepsané, snadno ji tedy již celou sestrojíme a zbytek je už triviální (stačí udělat tečny k této kružnici z bodu C a tam, kde protnou přímku ST, jsou body A, B).

A teď k tvému řešení, respektive k důkazu jeho správnosti. Označme průsečík polopřímky SX a výšky na stranu AB jako E. SX je zřejmě střední příčka v trojúhelníku DTU, proto jsou přímky SX a DU rovnoběžky. Výška na stranu AB a přímka DT jsou též rovnoběžky. Proto je CETX rovnoběžník. Jeho úhlopříčky se navzájem půlí a proto označíme-li F jako střed úsečky CT, tak o bodu F víme, že je to průsečík úhlopříček, a tak bod F leží i na druhé úhlopříčce EX. A proto doopravdy střed kružnice vepsané X leží na přímce SF. Jinak úsečka CE měří též stejně jako poloměr kružnice vepsané, je to též tvrzení (i když méně známé), vyskytuje se např. v knize Geometrie trojúhelníku od Švrčka.

↑ Wotton:

s radosti přidáno "k věčnému trojúhelníku", děkuji :-) Kdyby někdo vymyslel pohodlnější a přehlednější systém řazení seznamu, bude velmi pochválen (např. /id by se mohlo zkusit, poprosím kolegyňku Janču :-). Zdravím.