Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím. Vymyslel jsem následující konstrukční úlohu.
Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán vrchol C, dotyk T kružnice vepsané na straně AB a střed S strany AB.
Offline
↑ hfungus: Poněkud stručné řešení. Zkus to trochu rozvést, nejlépe použij funkci "skrýt".
Offline
Offline
↑ hfungus: Ahoj. Tvé řešení je bohužel špatně. Chyný krok je v tom, že předpokládáš v kroku 2, že střed kružice vepsané X leží na přímce CS (na těžnici ke straně c), což ale obecně vůbec nemusí být pravda. Bod X leží na ose úhlu ACB, ne na těžnici z vrcholu C. Zkoušej dál, určitě na to přijdeš.
Offline
↑ Anonymystik: Pro zájemce dám 2 nápovědy. Doporučuji otevřít nejdřív jednu, zkusit to dořešit, a pokud to nedocvakne ani pak, otevřít i tu druhou:
Hint 1:
Offline
↑ Anonymystik:
Tak řešení mám, ale neodpovídá tvým nápovědám:)
Offline
↑ Wotton: Ahoj. Máš to dobře a jsem rád, že jsi našel trochu jiné řešení něž to moje. V podstatě ale s tím mým úzce souvisí. Jinak mi ale není zřejmý čtvrtý krok, kde tvrdíš, že střed kružnice vepsané musí ležet na přímce q. Skutečně je tomu tak, pouze bych tento krok více rozepsal (resp. zdůvodnil jeho správnost).
Offline
↑ Anonymystik:
Zdravím,
no vycházel jsem z toho, že je tohle zadání hodně souvisí s "věčným" trojúhelníkem. Takže i řešení (hlavně tebou zmiňovaný bod) je podobný. Takže zdůvodnění se dá najít tam (respektive v odkazech).
... ale hlavně jsem to nevysvětloval proto, že jsem chtěl aby ses taky trošku potrápil až budeš řešit jestli to je správně:)
Offline
↑ Wotton: Ahoj. Myslím, že tahle úloha s přecejen zaslouží dodatek, protože je velice zajímavá a spoustu jsem se toho z ní naučil. Ukážu nejdřív to své řešení a pak odsud odvodím, že i to tvoje je korektní. Body T, U (dotyky kružnice vepsané a opsané na straně AB) jsou souměrné podle středu S strany AB, to je celkem jasné (a kdyby někdo nevěděl proč, dá se to dokázat metodou počítání tečen). První krok v konstrukci je tedy bod U jako obraz bodu T ve středové souměrnosti podle S
Kružnice vepsaná a opsaná jsou stejnolehlé podle středu C. Bod U je kružnice připsané "nahoře", takže bod jeho obraz ve zmíněné stejnolehlosti se zobrazí na bod D též "nahoře". Protože bod T je na stejné kružnici "dole", tak DT je průměr kružnice. Proto kolmice z bodu T na přímku ST a přímka CU se protnou v bodě D. Další krok je tedy najít bod D.
No a známe-li oba body D, T, známe průměr kružnice vepsané, snadno ji tedy již celou sestrojíme a zbytek je už triviální (stačí udělat tečny k této kružnici z bodu C a tam, kde protnou přímku ST, jsou body A, B).
A teď k tvému řešení, respektive k důkazu jeho správnosti. Označme průsečík polopřímky SX a výšky na stranu AB jako E. SX je zřejmě střední příčka v trojúhelníku DTU, proto jsou přímky SX a DU rovnoběžky. Výška na stranu AB a přímka DT jsou též rovnoběžky. Proto je CETX rovnoběžník. Jeho úhlopříčky se navzájem půlí a proto označíme-li F jako střed úsečky CT, tak o bodu F víme, že je to průsečík úhlopříček, a tak bod F leží i na druhé úhlopříčce EX. A proto doopravdy střed kružnice vepsané X leží na přímce SF. Jinak úsečka CE měří též stejně jako poloměr kružnice vepsané, je to též tvrzení (i když méně známé), vyskytuje se např. v knize Geometrie trojúhelníku od Švrčka.
Offline
↑ Anonymystik: ještě jednou ahoj,
V podstatě ta poslední věta je postup kterým jsem se vydal. Když použiju tvůj obrázek, tak jsem vyšel z toho, že přímka SX protíná výšku ve vzdálenisti poloměru kružnice vepsané od vrcholu C. No a z toho už je celkem přímo vidět i to že půlí úsečku CT.
Jinak si myslím, že tento příklad (hlavně kvůli tvému pěkně napsanému řešení), si zaslouží aby ho Jelena dala do svého seznamu
Offline
↑ Wotton:
s radosti přidáno "k věčnému trojúhelníku", děkuji :-) Kdyby někdo vymyslel pohodlnější a přehlednější systém řazení seznamu, bude velmi pochválen (např. /id by se mohlo zkusit, poprosím kolegyňku Janču :-). Zdravím.
Offline