Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Svaz kongruencí svazu (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 11. 12. 2011 13:40 — Editoval Andrejka3 (14. 12. 2011 23:57)
Svaz kongruencí svazu
Ahoj.
Zadání:
Je svaz kongruencí 
pro každý svaz 
modulární? Distributivní?
Pojmy a značení:
Pozorování
odpovídající operace jsou 
(průnik kongruencí)
(nejmenší kongruence, která obsahuje sjednocení obou kongruencí)
. Je-li 
, pak celý interval od 
), kde se to rozdvojuje, pak celá levá větev společně s 
)) jsou v jedné třídě kongruence.
. Viz nahoře (co je modularita, distributivita ve svazech). Takže předpokládám existenci podsvazu izomorfního 
a doufám, že dostanu nějaký spor.
? Mějme dvě kongruence 
, At 
. Pokud 
, ale 
, pak existují intervaly 
, kde 
a 
a 
je v jedné třídě kongruence 
, 
je v jedné třídě kongruence 
.
.Prosím, víte-li, jak na to, prosím nasměrujte mě. Zatím si myslím, že je distributivní, ale nedaří se mi to dokázat (ani najít protipříklad). Časem sem doplním, co mě napadlo.
Díky, A.
Edit: hotovo.
What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Andrejka3)
#2 11. 12. 2011 16:17
Re: Svaz kongruencí svazu
Ahoj ↑ Andrejka3:,
Tu
http://www-irma.u-strasbg.fr/~noot/coll … hrung.html
pisu ze
Le problème de savoir si tout treillis algébrique distributif est isomorphe au treillis des congruences d'un treillis, posé par R.P. Dilworth dans les années 40, n'a été résolu, par la négative, que récemment.
mozno ti to posluzi
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#3 11. 12. 2011 17:26 — Editoval Andrejka3 (11. 12. 2011 17:31)
Re: Svaz kongruencí svazu
↑ vanok:
Díky, píšou, že to je distributivní protože něco, že? :)
Francouzsky neumím.
Edit: google prekladac.
Takže nějaký izonorfismus nějakého distributivního svazu byl v 40. letech vyvrácen.
What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'
Offline
#4 11. 12. 2011 18:01
Re: Svaz kongruencí svazu
Ahoj ↑ Andrejka3:,
Tu mas t'en preklad:
Problem vediet ci kazde algebricky distributivny zvez je isomorfny zo zvezom kongruencii nejakeho zvazu, polozeny P.R. Dilworth v 40 rokoch ,dostal negativnu odpoved l'en nedavno.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#5 14. 12. 2011 19:24 — Editoval Andrejka3 (15. 12. 2011 20:38)
Re: Svaz kongruencí svazu
Ukázalo se, že ta úloha není moc těžká.
Tvrzení: Nechť 
je svaz.
Svaz kongruencí 
svazu je distributivní.
Důkaz rozdělím na dvě části.
platí:
(1)
(2)
je tranzitivní uzávěr sjednocení ekvivalencí 
, je to ekvivalence a zároveň nejmenší taková, že obsahuje 
. Poslední rovnost tedy platí, pokud je tato ekvivalence i kongruencí.
. Pak 
takové, že
pro 
.
pro 
.
, a na každý prvek dvojice druhého řetězu prvků relací proveďme operaci 
. Dostaneme:
pro 
.
pro 
.
.
.
.
. Chceme ukázat, že
(3)
![$\left( \diamond \wedge \sim \right) \vee \left( \diamond \wedge \approx \right)\; = \; \bigcup_{\substack{j \in \mathbb{N}}}\left[ (\diamond \cap \sim) \cup (\diamond \cap \approx) \right]^j \; = \; \bigcup_{\substack{j \in \mathbb{N}}} \left[ \diamond \cap (\sim \cup \approx) \right]^j \;.$](/mathtex/6a/6a5c3cde2ea84fef4858f7488cca50b3.gif "kopírovat do textarea")
:![$\diamond \cap \bigcup_{\substack{j \in \mathbb{N}}}(\sim \cup \approx)^j \; = \; \bigcup_{\substack{j \in \mathbb{N}}} \left[ \diamond \cap (\sim \cup \approx) \right]^j \;.$](/mathtex/0d/0deb8a26d847cc496c4e1a7b884a02df.gif "kopírovat do textarea")
(4)
zřejmá:![$(a,b)\in \bigcup_{\substack{j \in \mathbb{N}}} \left[ \diamond \cap (\sim \cup \approx) \right]^j \Rightarrow \exists j_0 \in \mathbb{N} : (a,b) \in \left[ \diamond \cap (\sim \cup \approx) \right]^{j_0} \Rightarrow$](/mathtex/ed/ede067cf72d39e0450772a9b544f3dec.gif "kopírovat do textarea")
.
, 
a také
:
![$(a,b) \in \; \left[ \diamond \cap (\sim \cup \approx) \right]^{j_0} \; .$](/mathtex/04/04be1e825c9828667cb1b81dafb3156d.gif "kopírovat do textarea")
![$[a,b]$](/mathtex/4a/4ab4b4c56d5423829b45e9ed06c42c5b.gif "kopírovat do textarea")
, tj. aby 
. Pak totiž (díky Tvrzení 1 a prvnímu pozorování v příspěvku #1) budou všechny dvojice 
a tedy bude ![$(a,b) \in \left[ \diamond \cap (\sim \cup \approx) \right]^{j_0}$](/mathtex/07/078218d30044b0c03a36a76b0f705ab0.gif "kopírovat do textarea")
, tudíž ![$(a,b) \in \bigcup_{\substack{j \in \mathbb{N}}} \left[ \diamond \cap (\sim \cup \approx) \right]^j$](/mathtex/eb/eb846705390411f0bb882438bca0a1cb.gif "kopírovat do textarea")
a budeme hotovi.
, mějme nějaké 
. Je ![$a \vee (b \wedge c) \in [a,b]$](/mathtex/7e/7eeb5df7973c637319449b43fa03587f.gif "kopírovat do textarea")
?![$\left[a \vee (b \wedge c) \right] \wedge a = a \Rightarrow \; a \vee (b \wedge c) \geq a$](/mathtex/87/87fa9ca87e9043e15ab7bf7295137fe9.gif "kopírovat do textarea")
.![$\left[a \vee (b \wedge c) \right] \vee b = (a \vee b) \wedge (b \wedge c) = b \vee (b \wedge c) = b \Rightarrow \; a \vee (b \wedge c) \leq b$](/mathtex/56/5689037ab591e08c8c56164a2c47ecc2.gif "kopírovat do textarea")
.
.
a stejně pro ostatní dvojice.Poznámky:
Má myšlenka v prvním příspěvku o řetězcích není pravdivá.
Můžeme taky v důkazu požadovat nejmenší
, kterým se postupně přes 
dostaneme od 
k 
. Je docela zřejmé, že cestou budeme vždy přestupovat z jedné kongruence (
) do druhé (
), a že půjdeme vždy striktně nahoru.Ohledně francouzského textu: Možná se jedná o následující problém (údajně nepravdivý)
Buď
distributivní svaz. Pak existuje svaz takový, že je izomorfní . (Nebo existuje podsvaz izomorfní ).Edit: doplnění DK Tvrzení 1
What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Svaz kongruencí svazu (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)