Matematické Fórum

symetrala · 24. 04. 2012 19:19

Mohl by mi nekdo prosím napsat jak zderivovat PODLE x,y a z toto F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0
Upozornuji, ze, kdyz se tady derivuje z^2 podle x, tak by to meo vypadat 2z*z'x ....
Moc díky

xfastx · 24. 04. 2012 19:46 — Editoval xfastx (24. 04. 2012 19:57)

Zdravím.... Pokud derivuješ podle dané proměnné, ostatní proměnné bereš jako konstanty, tedy
$\frac{\partial f}{\partial x}=2x-z+2$

symetrala

↑ xfastx: tak to právě není, tam se ještě derivuje to z jinak..:-/J
Jak tedy najdu lokální extrémy z této funkce?

xfastx · 24. 04. 2012 20:55

Pokud by se to mělo derivovat tak jak píšeš tak by z musela být funkce proměné x

symetrala · 24. 04. 2012 21:00

↑ xfastx:
ano tak

kaja.marik · 24. 04. 2012 21:33

↑ symetrala:
takze to je funkce dvou promennych g(x,y)=F(x,y,z(x)) ? Funkce z je zadana? Pokud ne, tak se lokalni extremy nejspis najit nedaji.

symetrala · 24. 04. 2012 21:37

↑ kaja.marik:
zadani je toto
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2
a z toho najit lokalni extremy, max x,y by melo vyjit -3+sqrt6 a max z=-4+2sqrt6 pak min z=-4-2sqrt6 a x,y=-3-sqrt6

jelena · 24. 04. 2012 22:06

↑ symetrala:

Zdravím,

v 1. příspěvku však je implicitní funkce F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0 - je tak? Děkuji.

symetrala · 24. 04. 2012 22:09

↑ jelena:
ano , omlouvám se ..je to implicitní funkce...ale jak to počítat ? :(

jelena · 24. 04. 2012 22:16

↑ symetrala:

jako parciální derivace implicitní funkce - teorie a vzorový příklad 2.6.1

symetrala · 24. 04. 2012 22:24

↑ jelena:
z toho to moc nechapu, nemohla by si to zkusit pro tento priklad vyřešit?Stačilo by mi zderivivat podle x, y a z ale nevím jak presne zderivovat to xz a yz např podle x....kdyz to je fce pro 3 promenny..:/

jelena · 24. 04. 2012 22:39

↑ symetrala:

potřebuji řešit něco zcela jiného. Zde jsem za dohledu kolegy Rumburaka derivovala - odkaz.

Např. derivuji $z^2+xz=0$ po dx $2z\cdot z^{\prime}_x+(1\cdot z+x\cdot z^{\prime}_x)=0$ , odsud vyjadřuj $z_x^{\prime}$ , což jsem označila parciální derivaci po dx.

xz jsem derivovala jako součin.

kaja.marik · 25. 04. 2012 00:12

↑ symetrala:
Uz taky chapu to zadani. Je to funkce dvou promennych, podle z neni potreba derivovat.

symetrala · 25. 04. 2012 08:54

↑ kaja.marik:↑ jelena:
tak to nechapes, je to fce 3 promennych, a podle z je treba derivovat!

jelena · 25. 04. 2012 09:31

↑ symetrala:

Z pramenů víme, že Kája vynechal přednášku z velmi důležitého důvodu a stálo se tak poprvé. Potom již neměl důvody přednášky vynechávat.

Také bych nederivovala po dz, ovšem vždy, když potkám při derivování z, pohlížím na z jako na složenou funkci. Co vaše prameny - jaké máš? Děkuji za osvětu, co nechápeme.

Zdravím.

kaja.marik · 25. 04. 2012 13:10

Funkce jedne promenne zadana explicitne je napriklad y=x^2

Funkce jedne promenne zadana implicitne je napriklad x^2+y=0

Funkce dvou promennych zadana explicitne je napriklad z=x^2+y

Funkce dvou promennych zadana implicitne je napriklad x^2+y-z=0

Funkce tri promennych zadana explicitne je napriklad w=x^2+y-z

atd ...

A co z toho mate? Podle me funkci dvou promennych, ktera je zadana implicitne.

symetrala · 25. 04. 2012 13:14

↑ kaja.marik:
je to fce 3 promennych zadana implicitne, asi tomu moc nerozumíte, najde se tu nekdo kdo by to tedy vypočítal?

Rumburak

↑ symetrala:

Že by pan ↑ kaja.marik: tomu nerozuměl, o tom bych si dovolil pochybovat. :-)

Problém je v nepřesvědčivě formulovaném zadání. Pokud bychom měli rovnici

(0) $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2$ ,

pak by bylo jasné, že jde o předpis, jímž je určena funkce $F$ tří proměnných $x, y, z$ . Avšak napíšeme-li

$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0$ ,

pak její část

(1) $x^2+y^2+z^2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0$

signalisuje, že jde o něco zcela jiného. Za určitých předpokladů totiž můžeme z rovnice (1) vyjádřít některou z proměnných $x, y, z$ jako funkci
ostatních proměnných, tj. $z = z(x,y)$ resp. $x = x(y, z)$ resp. $y = y(z, x)$ - o takových funkcích říkáme, že jsou implicitně zadány
rovnicí (1).

V případě $z = z(x,y)$ (jde o implicitní funkci DVOU proměnných $x, y$ ) tedy rovnici (1) derivujeme podle $x$ následovně:

$2x+2zz_x-(z +xz_x)-yz_x+2+2z_x=0$

( $z_x$ je parciální derivace funkce $z(x,y)$ podle $x$ ; proměnná $y$ nezávisí na $x$ , proto $y_x = 0$ ).

Pokud ale opravdu jde jen o to zderivovat funkci definovanou předpisem (0), pak zde není žádný problém, například

(2) $\frac{\partial}{\partial x}F(x,y,z)=2x-z +2$

(na proměnné, podle kterých se právě nederivuje , což v (2) jsou $y, z$ , pohlížíme jako na konstanty), jak už ukázal ↑ xfastx:.