Matematické Fórum

flacon · 23. 06. 2009 14:40

Ahoj, moc prosím potřebovala bych poradit s tímto příkladem:

Je dána funkce F F(x,y,z)= x^2+2*y^2+z^2-2*x*y-4*x+2*y+4
a) Ukažte, že rovnicí F(x,y,z)=0 je zadána implicitní funkce z(x,y) v okolí bodu (3,1) taková, že z(3,1)=1
b) Ukažte, že bod (3,1) je stacionární bod funkce z(x,y)
c) Nabývá funkce z(x,y) v bodě (3,1) lokální extrém?

Prosím poraďte mi někdo jak na to, já ani pořádně nevím, co se tady po mě chce

Rumburak

Pouze nasměruji - zatím jsem to systematicky neřešil:

Ad 1. Je třeba ověřit, že jsou splněny předpoklady věty o implicitní funkci.

Ad 2. Vyjádříme parciální derivace fce z(x,y) a ukážeme, že v bodě (3,1) jsou rovny 0.

Ad 3. O extrému rozhodneme na základě hodnoty determinantu sestaveného z druhých parc. derivací fce z(x,y).

flacon · 23. 06. 2009 17:08

Ad1.
Věta o implicitní funkci je : 1) F(x0,y0,z0)=0
2) df/dz (x0,y0,z0) se nerovná 0

Takže funkci F zderivuju podle z? to je 2*z a pak už netuším co dál

kaja(z_hajovny) · 23. 06. 2009 20:47

overim, jestli je 2*1 rovno nule

flacon · 23. 06. 2009 21:05

↑ kaja(z_hajovny):
nerovná se to nule, takže to je implicitně zadaná funkce

Ad2. Jak mám vyjádřit parciální derivace fce z(x,y), já v tom žádnou funkci nevidím, nevidím v tom nic co bych pak derivovala

kaja(z_hajovny) · 23. 06. 2009 21:16

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$

flacon · 23. 06. 2009 22:50

díky a prosím ještě jaké budou vzorce pro druhou derivaci z podle x, podle y , podle xy a podle yx?

jelena · 23. 06. 2009 23:03

↑ flacon:

Každý "zápis" funkce, které vznikl po prvním derivování se derivuje znovu podle stejného principu.

Už zderivovaný po x derivujeme opět po x a po y, tak vznikne _xx, _xy a stejně po y, ...

Trochu teorie by to chtělo: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Implicit … fault.aspx

OK?

flacon · 23. 06. 2009 23:25 — Editoval flacon (23. 06. 2009 23:25)

to vím, ale mě jde o to jak zderivovat funkci z podle y. Bude to takto?

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$

flacon · 23. 06. 2009 23:36

a pro ty druhé derivace to pak bude

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=-\frac{\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}}{\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-\frac{\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}}{\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y }=-\frac{\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}}{\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}}$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x }=-\frac{\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}}{\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}}$

kaja(z_hajovny) · 23. 06. 2009 23:54

↑ flacon:ano :)
↑ flacon:ne :(

flacon · 23. 06. 2009 23:58

co tím myslíš ano ne?

O.o · 24. 06. 2009 00:12

↑ flacon:

To je jednoduché, klikni na "odkaz" u ano a odkaz u ne, přeskočí ti to na to, k čemu to patří ;-).

flacon · 24. 06. 2009 00:24

prosím jak to teda má být správně?

jelena · 24. 06. 2009 00:40 — Editoval jelena (14. 07. 2009 23:20)

↑ flacon:

Máš, prosím nějaký materiál?

Když se derivuje poprve, tak se dá dobře požit vzorec. Ale když se derivuje podruhé, tak, já bych se v tom vzorci ztratila - proto já rovnou derivuji zadanou funkci takto:

$x^2+2y^2+z^2-2xy-4x+2y+4=0$ derivuji po x, z považuji za funkci x

$2x+2zz^{\prime}-2y-4=0$

odsud vyjadrim $z^{\prime}=\frac{4-2x+2y}{2z}$ toto je prvni derivace po x

ted derivuji 1. derivaci $2x+2zz^{\prime}-2y-4=0$
opet po x

$2+2(z^{\prime}\cdot z^{\prime}+z\cdot z^{{\prime}{\prime}})=0$

a odsud vyjadrim druhou derivaci po x

$z^{{\prime}{\prime}}=-\frac{2+2(z^{\prime}\cdot z^{\prime})}{2z}=-\frac{1+(z^{\prime})^{2}}{z}$ , na závěr misto 1. derivace v čitateli dosadim $z^{\prime}=\frac{4-2x+2y}{2z}$

Je to tak v pořádku?

Edit 1: a OT ↑ O.o: Zdravím :-) je to tak v pořádku? a přiležitostně - fungují jiné komunikační prostředky?

Edit 2: opravena 2. derivace na upozornění kolegy Rumburaka, viz příspěvek dál v tématu. Moc děkuji a omluva.

Edit 3: konečně jsem opravila "v čitateli" :-)

O.o · 24. 06. 2009 00:48 — Editoval O.o (24. 06. 2009 01:04)

↑ flacon:

No já v tuhle hodinu ani nevím, jak to zapsat obecně .-).

Ale tak, když ověříme, že je dána nějaká funkce z=f(x,y) - máš to snad napsané jako z(x, ), snad jsem to nezpletl a je to stejné.

První derivaci bych dělal jako je výše napsané a druhou trochu "jinak". Vzal bych proměnnou z a "dosadil" za ni f(x,y) (proto jsem to takhle na začátku psal) a pak bych to derivoval jako podíl (jmenovatel na druhou, čitatel ...) s tím, že f(x,y) je nějaká ta funkce a její derivace je $\frac{\partial}{\partial x}(f(x,y))=\frac{\partial z}{\partial x}$ (to máš už vyčíslenou, stačí dosadit), hodnotu f(x,y) pro nějaký ten bod také znáš, tedy také jen dosadíš, za proměnné x, y stačí také jen dosadit no a máš vyčíslenou druhou derivaci.

Teď jen přemýšlím, jestli tu nepíši hlouposti, nějak mi to teď nejde do hlavy, pokud je to celé špatně, tak se omlouvám, zítra snad budu trochu více při smyslech.

PS: Za opravu děkuji..

EDIT: jeleny styl derivace často preferuji také -)

Jiné prostředky asi také fungují, jen je moc nezapínám :-). Samozejmě posílám pozdrav z Prahy..

Rumburak

↑ flacon:
Je dobré rozumět trochu podstatě věci. Pro implicitní fci z=z(x,y) je v jistém okolí bodu [a,b] splněna rovnice

(1) F(a,b,c) = F(x,y, z(x,y)),

kde A = [a,b,c] je bod z předpokladů věty o iml. fci . Rovnici (1) zderivujeme parciálně podle x, čímž podle vět
o parc. derivování složených funkcí více proměnných obdržíme (levá strana v (1) je konstanta, proto její p.d. bude 0)

(2) $0 = \frac {\partial}{\partial x} F(x,y, z(x,y)) \,=\, \frac {\partial F}{\partial x} (x,y, z(x,y)) \,+ \,\frac {\partial F}{\partial z} (x,y, z(x,y)) \,\frac {\partial z}{\partial x} (x,y)$ ,

odtud vzoreček

$\frac {\partial z}{\partial x} (x,y) = -\frac {\frac {\partial F}{\partial x} (x,y, z(x,y))}{\frac {\partial F}{\partial z} (x,y, z(x,y)) }$ , obdobně $\frac {\partial z}{\partial y} (x,y) = ...$ ,

EDIT: jsou to vlastně diferenciální rovnice pro funkci z = z(x,y) při počáteční podmínce z(a,b) =c,
kterou nutno při vyčíslení p.d. v bodě [a,b] využít.

Tyto vzorce lze použít pro výpočet p.d. vyšších řádů - pozor na to, že i nadále pak derivujeme složenou funkci více proměnných,
přesněji PODÍL dvou takových funkcí. To sis asi neuvědomil(a), proto jsou Tvé "vzorečky" pro p.d. druhého řádu špatně.

EDIT: Alternativní způsob pro výpočet p.d. druhého řádu: derivovat rovnici (2) resp. obdobnou rovnici získanou derivací rce (1) podle y.

flacon · 24. 06. 2009 13:17

materiály k tomu skoro žádné nemám, jenom poznámky z přednášky.

Já potřebuju vědět jak mám udělat druhé parc. derivace fce z(x,y). Vím, že když funkci zderivuju potrvé tak mám 1. derivaci a když tu zderivuju tu 1. derivaci tak dostanu 2. derivaci. Já ale nevím jak mám derivovat konkrétně funkci z(x,y), protože tam nevidím nic co bych derivovala. Pro 1. derivaci funkce z(x,y) mám vzorce $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$ a $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$
tak mám $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x-2y-4}{2z}$ a $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{4y-2x+2}{2z}$

A 2. derivaci udělám tak, že $-\frac{2x-2y-4}{2z}$ zderivuju podle x $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=-\frac{2}{z}$ a podle y $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=-\frac{2}{z}$ a $-\frac{4y-2x+2}{2z}$ zderivuju podle y $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=-\frac{4}{z}$ a podle x $\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=-\frac{2}{z}$ , jenomže pak nemám kam dosadit ten bod (3,1), když tam jaksi nemám žádné y ani x??

Terrrka · 24. 06. 2009 13:47

ahoj, našel by se tu prosím někdo, kdo by mi polopaticky vysvětlil jak se spočítají kritické body(lokální maximum, minimum nebo sedlové body). Mám tu na to příklad:

f(x,y)=1+25/x -8/y-5xy

kaja(z_hajovny) · 24. 06. 2009 13:47

mate vypoctene parcialni derivace?

Terrrka · 24. 06. 2009 13:59

ano deriva f(x) = -25/x^2 -5y
f(y) = 8/y^2 - 5x nejsem si ale jistá, zda je to dobře..

Rumburak

↑ flacon:
Takže:
$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x-2y-4}{2z} = \frac{-x+y+2}{z}$ mi vyšlo stejně, tudíž například $\frac {\partial}{\partial y}\,\frac{\partial z}{\partial x}=\,\frac {\partial}{\partial y}\,\frac{-x+y+2}{z}= \, \frac {z \,-\, (-x+y+2)\,\frac{\partial z}{\partial y}}{z^2}$
(nezapomínejme, že derivujeme zlomek, jehož jmenovatelem je funkce), kam za $\frac{\partial z}{\partial y}$ dosadíme výsledek
pro 1. derivaci dle y získaný dříve. Je to opět diferenciální rovnice, ale netřeba ji řešit, neboť nás z ní zajímá
jen její hodnota v "počátečním" bodě [a,b] = [3,1] , a tu od začátku známe: z(3,1)=1.

EDIT: Dodatečně jsem opravil nějaké chyby, které se mi tam vloudily.

jelena · 24. 06. 2009 15:22

↑ Terrrka:

Zdravím,

Derivace je v pořádku, dál podle těchto materiálů: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Lokalni- … fault.aspx a také zde můžeš kontrolovat: http://user.mendelu.cz/marik/maw/index. … m=derivace

Možna bude lepší založit vlastní téma, pokud budeš potřebovat další pomoc, tady se to ztrací.

OK?

Rumburak · 24. 06. 2009 15:24

↑ jelena:
Zdravím, toto $2+2z^{\prime}z^{{\prime}{\prime}}=0$ jakožto derivace (dle x) tohoto $2x+2zz^{\prime}-2y-4=0$ je bohužel špatně,
neboť $(zz^{\prime})^{\prime} = (z^{\prime})^2 + zz^{{\prime}{\prime}}$ .

Terrrka · 24. 06. 2009 15:35

super, já na to kouknu, ale asi opravdu založím vlastní téma,je to tu dost nepřehledné. děkuju

Matematické Fórum

#1 23. 06. 2009 14:40

funkce víceproměnné

#2 23. 06. 2009 15:50 — Editoval Rumburak (23. 06. 2009 15:54)

Re: funkce víceproměnné

#3 23. 06. 2009 17:08

Re: funkce víceproměnné

#4 23. 06. 2009 20:47

Re: funkce víceproměnné

#5 23. 06. 2009 21:05

Re: funkce víceproměnné

#6 23. 06. 2009 21:16

Re: funkce víceproměnné

#7 23. 06. 2009 22:50

Re: funkce víceproměnné

#8 23. 06. 2009 23:03

Re: funkce víceproměnné

#9 23. 06. 2009 23:25 — Editoval flacon (23. 06. 2009 23:25)

Re: funkce víceproměnné

#10 23. 06. 2009 23:36

Re: funkce víceproměnné

#11 23. 06. 2009 23:54

Re: funkce víceproměnné

#12 23. 06. 2009 23:58

Re: funkce víceproměnné

#13 24. 06. 2009 00:12

Re: funkce víceproměnné

#14 24. 06. 2009 00:24

Re: funkce víceproměnné

#15 24. 06. 2009 00:40 — Editoval jelena (14. 07. 2009 23:20)

Re: funkce víceproměnné

#16 24. 06. 2009 00:48 — Editoval O.o (24. 06. 2009 01:04)

Re: funkce víceproměnné

#17 24. 06. 2009 10:06 — Editoval Rumburak (24. 06. 2009 11:16)

Re: funkce víceproměnné

#18 24. 06. 2009 13:17

Re: funkce víceproměnné

#19 24. 06. 2009 13:47

Re: funkce víceproměnné

#20 24. 06. 2009 13:47

Re: funkce víceproměnné

#21 24. 06. 2009 13:59

Re: funkce víceproměnné

#22 24. 06. 2009 14:37 — Editoval Rumburak (25. 06. 2009 09:08)

Re: funkce víceproměnné

#23 24. 06. 2009 15:22

Re: funkce víceproměnné

#24 24. 06. 2009 15:24

Re: funkce víceproměnné

#25 24. 06. 2009 15:35

Re: funkce víceproměnné

Zápatí