Matematické Fórum

Nesquik90 · 11. 06. 2012 17:33

Ahoj,

potřeboval bych pomoct s diferenciálními rovnicemi. Jde to úplně mimo mě, i učitel nám toho moc nevysvětlil. Matiku už opakuji a nutně to potřebuji k postupu do dalšího ročníku. Mohl by mi tedy prosím někdo pomoct s 6 rovnicemi ? Případně bych i poslal nějakou finanční odměnu. Děkuji za pomoc a přeji pěkný den

link na rovnice

http://imageshack.us/photo/my-images/59/matikah.png/

děkuji za odpověď

Aquabellla

↑ Nesquik90:

Příklad 1:
$xy' - 2y = 2x^4$ - "zbavím" se x u derivovaného y
$y' - 2\frac{y}{x} = 2x^3$ - jedná se o lineární DR

a) vyřešíme homogenní rovnici:
$y' - 2\frac{y}{x} = 0$
$y' = 2\frac{y}{x}$
$\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{2}{x} dx$
$\ln |y| = 2 \ln |x| + c$ , c je reálné
$\ln |y| = \ln |x|^2 + c$ - odlogaritmujeme
$y = x^2 \cdot c$ - obecné řešení

b) uděláme z obecného řešení funkci o proměnné c
$y = x^2 \cdot c(x)$ - zderivujeme
$y' = 2x \cdot c + x^2 \cdot c'$ - dosadíme do původní DR
$xy' - 2y = 2x^4$ =>
$2x^2 \cdot c + x^3 \cdot c' - 2x^2 \cdot c = 2x^4$
$x^3 \cdot c' = 2x^4$
$c' = 2x$ => $c = \int 2x dx = 2\frac{x^2}{2} + D = x^2 + D$ , kde D je reálné.

Dosadíme do obecného řešení: $y = x^2 \cdot (x^2 + D)$ => $y = x^4 + Dx^2$

Prosím, Nesquik90, projdi si příklad a v případě otázek na postup se neváhej zeptat. Další příklad sem napíšu, až odsouhlasíš, že tomuhle příkladu rozumíš.

Prosím i kolegy, aby počkali na vyjádření Nesquik90, zda příkladu rozumí, než sem vloží další. Děkuji :-)

Nesquik90 · 11. 06. 2012 18:59

↑ Aquabellla:
Ahoj,
děkuji, za pomoc, když na to koukám tak je to určitě v pohodě s popiskem i co mám dělat tak je to docela pohoda, ale že bych potom sám něco takového vymyslel to už je těžší.

Aquabellla · 11. 06. 2012 19:08

↑ Nesquik90:

Důležité je si uvědomit, o který typ DR jde. Pak už stačí aplikovat postup, který doporučuji si zapamatovat.

Další příklad $y' - \frac{1}{x} = x$ je také lineární DR. Zkus ho spočítat podle předchozího příkladu.

Nesquik90 · 11. 06. 2012 19:23

↑ Aquabellla:

je tam ještě za tím 1/x y takže to bude y - y/x = x tak si teď nejsem jistý, jestli se to počítá stejně, nebo ne.

Aquabellla · 11. 06. 2012 20:28

↑ Nesquik90:

Ježiš, no jo, promiň, teď jsem se úplně přehlédla, že tam ypsilon není.

V tomto příkladu dokážeš proměnné separovat, dát derivaci ypsilon na jednu stranu a x na druhou:

$y' - \frac{1}{x} = x$
$y' = \frac{1}{x} + x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + x$
$\int dy = \int (\frac{1}{x} + x) dx$

Nesquik90

↑ Aquabellla:

http://imageshack.us/photo/my-images/818/matika2.png/ takhle by to mělo být :) ale nevím co potom udělat s tím ypsilonem

Aquabellla · 11. 06. 2012 21:07

↑ Nesquik90:

Dávej si pozor na rozdíl mezi derivováním a integrováním :-)

$\int dy = \int (\frac{1}{x} + x) dx$
$y = \ln x + \frac{x^2}{2} + c$ - a toto je výsledek.

U tohoto příkladu už nemusíš zpětně dosazovat do zadání. To děláš pouze u lineární DR, protože v prvním kroku vezmeš pouze homogenní rovnici (bez pravé strany), a pak se "vracíš" do zadání, aby v řešení byla obsáhlá i ta pravá strana, kterou jsi vynechala.

Doufám, že je to trochu pochopitelné :-)

Nesquik90 · 11. 06. 2012 21:10

↑ Aquabellla:

jo ahá, blbá chybka :( ale už tyhle rovnice aspoň trochu chápu :)

Aquabellla · 11. 06. 2012 21:26

↑ Nesquik90:

To jsem ráda :-)

Tak jsem na 3. příklad.
$2xy'(x^2 + y^2) = y(y^2 + 2x^2)$ - osamostatním derivované y
$y' = \frac{y(y^2 + 2x^2)}{2x(x^2 + y^2)}$ - všimni si, že v čitateli a jmenovateli jsou stejné mocniny. Uděláme z rovnice homogenní DR (to je podíl y/x)
$y' = \frac12 \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{x^2(\frac{y^2}{x^2} + 2)}{x^2(1 + \frac{y^2}{x^2})} = \frac12 \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{\frac{y^2}{x^2} + 2}{1 + \frac{y^2}{x^2}} = \frac12 \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{\left(\frac{y}{x}\right)^2 + 2}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2}$

Zavedeme substituci: $\frac{y}{x} = z$
=> $y = xz$ - zderivujeme => $y' = z + xz'$
Dosadíme do DR:

$y' = \frac12 \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{\left(\frac{y}{x}\right)^2 + 2}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2}$
$z + xz' = \frac12 \cdot z \cdot \frac{z^2 + 2}{1 + z^2}$ - převedeme z na pravou stranu a dáme na společného jmenovatele
$xz' = \frac12 \cdot z \cdot \frac{z^2 + 2}{1 + z^2} - z$
$xz' = \frac{z^3 + 2z}{2 + 2z^2} - z$
$xz' = \frac{z^3 + 2z - 2z - 2z^3}{2 + 2z^2}$
$xz' = \frac{- z^3}{2 + 2z^2}$
$\int \frac{2 + 2z^2}{- z^3}dz = \int \frac{1}{x} dx$
$-2 \int \frac{1 + z^2}{z^3}dz = \int \frac{1}{x} dx$

Zvládneš spočítat tyto integrály?

Nesquik90 · 11. 06. 2012 21:27

↑ Nesquik90:

a prosímtě co teda potom udělat s tím Y. Ve skriptech se to řešilo substitucí, y/x = z a z toho y'=z'x + z ale potom mi vyšlo z'=0 a to je blbost :(

Nesquik90 · 11. 06. 2012 21:29

↑ Aquabellla:

zvládnu děkuji za 3. :)

Aquabellla · 11. 06. 2012 21:35

↑ Nesquik90:

Až dopočítáš integrály, nezapomeň vrátit za substituci $z = \frac{y}{x}$ . Protože každá DR je vyjádření "ypsilon rovná se něčemu". Tedy ne ve všech případech jde ypsilon explicitně vyjádřit, každopádně je potřeba tam zachovat jen proměnné y a x :-)

Nesquik90 · 11. 06. 2012 22:03

↑ Aquabellla:

http://imageshack.us/photo/my-images/17 … tika3.png/ mám aspoň tohle dobře ? už nevím jak dál :D

Aquabellla · 11. 06. 2012 22:10

↑ Nesquik90:

Máš to skoro dobře :-) integrace v pořádku, jen pozor na to zkrácení dvojky - ta byla před integrálem, takže se vztahuje i k druhému sčítanci.
$\frac{1}{z^2} -2 \ln z = \ln x + c$

Jinak potom máš úpravu správně. Toto je zrovna příklad, kdy $y$ nevyjádříš explicitně (to je tvar y = něco). Můžeš rovnici klidně nechat ve tvaru $\frac{x^2}{y^2} - 2\ln \frac{x}{y} = \ln x + c$

Nesquik90 · 11. 06. 2012 22:44

↑ Aquabellla:

Zkoušel jsem ten 5. a 6.tý příklad, metodou neurčitých koeficientů, ale dostal jsem se ku výsledku:
$y=c_{1}\cdot e^{x}+c_{2}\cdot e^{2x}$

dále se tam potom už jen mění ta pravá strana x a cos(x)

Aquabellla · 11. 06. 2012 23:12

↑ Nesquik90:

Ano, obecné řešení máš správně. $y_H = c_1 \cdot e^x + c_2 \cdot e^{2x}$
Jestli chceš, tady jsem dělala přehled, jak se tvoří obecné i partikulární řešení pro lineární DR II. řádu.

Příklad 5:
$y'' - 3y' + 2y = \cos x$

Partikulární řešení: $y_P = A \cos x + B \sin x$ . Jak jsi správně řekl, využij metody neurčitých koeficientů. Toto partikulární řešení zderivuj (dvakrát), dosaď do zadání a tím dopočítej koeficienty A, B.

Výsledné řešení je $y = y_H + y_P$

Nesquik90 · 12. 06. 2012 00:18

↑ Aquabellla:

Zkusil jsem s tím něco udělat, jde to dobrým směrem ? Tímpádem by na řádku kde je (x), ten vzorec by mohl být i pro 6 tou úlohu

http://imageshack.us/photo/my-images/85 … tika4.jpg/

Aquabellla · 12. 06. 2012 08:26

↑ Nesquik90:

Ano, jdeš na to dobře.
$A \cos x + B \sin x + 3A \sin x - 3B \cos x = \cos x$

Teď tuto rovnici rozdělíme na dvě. Jedna bude obsahovat sinus a druhá kosinus.
$A \cos x - 3B \cos x = \cos x$
=> $A - 3B = 1$

$B \sin x + 3A \sin x = 0$
=> $B + 3A = 0$

Stejné rozdělení jsme dělali i u rozkladu na parciální zlomky, abychom dokázali zlomek zintegrovat, pamatuješ?

Z těchto dvou rovnic o neznámých A a B vyjde, že $A = \frac{1}{10}$ a $B = - \frac{3}{10}$ .

Výsledné řešení je: $y = c_1 \cdot e^x + c_2 \cdot e^{2x} + \frac{1}{10} \cos x - \frac{3}{10} \sin x$

Nesquik90 · 12. 06. 2012 18:07

↑ Aquabellla:

jsem tady, promiň dneska jsem udělal uspěšně zkoušku ze Statiky. :) Pomohla bys mi prosím ještě s tím 6tým a 3tím příkladem ? :)

Aquabellla · 12. 06. 2012 18:16

↑ Nesquik90:

Nemusíš se omlouvat, taky jsem tu celý den nebyla :-) A gratuluji ke zkoušce :-)

Příklad 6:
$y'' - 3y' + 2y = x$
Obecné řešení je stejné jako u příkladu 5: $y_H = c_1 \cdot e^x + c_2 \cdot e^{2x}$ .
Partikulární řešení je ve tvaru: $y_P = A x + B$ , protože pravá strana DR obsahuje pouze lineární funkci.

Postup je stejný, dvakrát zderivovat, dosadit do DR a dopočítat koeficienty A, B.

Nesquik90 · 12. 06. 2012 18:39

↑ Aquabellla:

udělal jsem tohle, ale je to asi špatně, ale nevím jak s tím pohnout :(

http://imageshack.us/content_round.php? … atika5.jpg

už aby byla ta matika za mnou :(((

Aquabellla

↑ Nesquik90:

$- 3A + 2Ax + 2B = x$

To rozdělení na rovnice je podle stupně x. Vždy se to dělá podle toho, co ta rovnice obsahuje. Tato obsahuje x, předchozí obsahoval goniometrické funkce.

$-3A + 2B = 0 \nl 2A = 1$
=> $A = \frac12$ , $B = \frac34$

Takže řešení je: $y = y_H + y_P = c_1 \cdot e^x + c_2 \cdot e^{2x} + \frac{x}{2} + \frac34$

Nesquik90 · 12. 06. 2012 20:53

↑ Aquabellla:

super díky :) a pomohla bys mi ještě s tím třetím příkladem ?

Aquabellla

↑ Nesquik90:

$(xy' - 1) \ln x = 2y$ - pokusíme se osamostatnit derivaci ypsilon
$xy' \ln x = 2y + \ln x$
$y' = \frac{2}{x \ln x}y + \frac{1}{x}$
$y' - \frac{2}{x \ln x}y = \frac{1}{x}$ - jde o lineární DR I. řádu, to je stejný postup jako 1. příklad.

a) vyšetříme homogenní rovnici:
$y' - \frac{2}{x \ln x}y = 0$
$y' = \frac{2}{x \ln x}y$
$\int \frac{1}{y} \text{dx} = \int \frac{2}{x \ln x} \text{dx}$
$\int \frac{1}{y} \text{dx} = 2 \int \frac{\frac{1}{x}}{\ln x} \text{dx}$
pravý integrál - čitatel je derivací jmenovatele: $\int \frac{f'}{f} \text{dx} = \ln f$

$\ln y = 2 \ln (\ln x) + c$
$\ln y = \ln (\ln x)^2 + c$
$y = \ln^2 x \cdot c$

b) uděláme z obecného řešení funkci o proměnné c
- dosadit do zadání a vypočítat hodnotu konstanty c. Zkusíš to dopočítat sám? :-)