Matematické Fórum

LRJ1 · 04. 06. 2012 23:55

Zadání: Řešte diferenciální rovnici $y''-2y'+5y=sin(x)$ . Tady nevím, zda postupuji správně. Prosím o kontrolu a návod jak jak jednoduše na příklady tohoto typu. Mnohokrát děkuji. Můj výpočet:

Aquabellla · 05. 06. 2012 08:45

↑ LRJ1:

Řešení homogenní rovnice, když kořeny jsou komplexní, je tvaru: $y_H = e^{\alpha x} \cdot (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$ , kde $\alpha \pm \beta i$ je kořen, takže konkrétně v tvém příkladě:
$y = e^{x} \cdot (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$ .

Partikulární řešení je ve tvaru: $y_P = x^k \cdot e^{\alpha x} \cdot (P(x) \cos \beta x + Q(x) \sin \beta x)$ , v tvém příkladě je na pravé straně jen sinus, tak bude tvé partikulární řešení vypadat:
$y_P = A \cos x + B \sin x$
teď stačí dvakrát zderivovat a dopočítat koeficienty A, B.

Aquabellla · 05. 06. 2012 17:48

↑ Aquabellla:

Napíšu, jak fungují lineární diferenciální rovnice obecně, abys mohl spočítat i další příklady:

LDR II. řádu je obecně ve tvaru: $y'' + a_1 y' + a_2 y = f(x)$

Charakteristická rovnice: $a^2 + a_1 \lambda + a_2 = 0$

1) řešení homogenní rovnice (obecné řešení)
i) charakteristická rovnice má reálné kořeny --> $y_H = c_1 \cdot e^{\lambda_1 x} + c_2 \cdot e^{\lambda_2 x}$ (v případě dvojnásobného kořene: $y_H = c_1 \cdot e^{\lambda x} + c_2 \cdot x \cdot e^{\lambda x}$ )
ii) char. rovnice má komplexně sdružené kořeny $\alpha \pm \beta i$ --> $y_H = e^{\alpha x}(c_1 \cos \beta x + c_2 \sin \beta x)$

2) řešení nehomogenní rovnice (partikulární řešení)
i) pokud $f(x) = e^{\alpha x}[P(x) \cos \beta x + Q(x) \sin \beta x]$ , kde $a_1, a_1, \alpha, \beta$ jsou reálné konstanty, $P, Q$ polynomy, potom lze partikulární řešení zapsat takto: $y_P = x^k \cdot e^{\alpha x}[L(x) \cos \beta x + M(x) sin \beta x]$ , kde $\alpha$ a $\beta$ jsou konstanty a $L(x), M(x)$ vhodné polynomy. Číslo $k$ udává násobnost kořene $\alpha$ , takže pokud $\alpha$ není řešením charakteristické rovnice, $x^k$ v partikulárním řešení vůbec nebude.
ii) pravá strana rovnice bude něco jiného než jen exponenciální, logaritmická funkce či polynom, je potřeba použít metodu variace konstant:
1. rovnice: obecné řešení s tím, že konstanty budou zderivované: $k_1' y_1 + k_2' y_2 = 0$
2. rovnice: obecné řešení + pravá strana ze zadání + zderivována celá levá strana: $k_1' y_1' + k_2' y_2' = f(x)$
--> stačí dopočítat hodnoty $k_1$ a $k_2$ a získáš řešení diferenciální rovnice.

Doufám, že ti tento přehled pomůže :-) Lze to samozřejmě použít i na lineární diferenciální rovnice vyšších řádů.

LRJ1 · 07. 06. 2012 10:45

↑ Aquabellla: Děkuji mnohokrát. Levou stranu podle tohoto návodu dám dohromady, ale pravou stranu jsme řešili jinak, zde je malá ukázka na jiném příkladu:

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2012 23:55

Diferenciální rovnice

#2 05. 06. 2012 08:45

Re: Diferenciální rovnice

#3 05. 06. 2012 17:48

Re: Diferenciální rovnice

#4 07. 06. 2012 10:45

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí