Matematické Fórum

slavek · 11. 06. 2012 22:12

Mám jeden dotaz ohledně součtu řady typu: $\sum_{1}^{\infty }\frac{n}{3^{n-1}}$
Jedná se o řadu typu $a_{n}b_{n}$ , kde $a_{n}$ je aritmetická řada a $b_{n}$ je geometrická řada. Domnívám se, že kvocient geometrické řady je 3, ale nějak se mi nedaří pohnout se dál. Věděl by někdo. Děkuji.

user · 11. 06. 2012 22:19

součet řady lze řešit jako posloupnost zadanou rekurentně a vyjádřit si n-tý člen součtu. Poté získáš součet tak, že uděláš $\lim_{n\to+\infty }s_{n}$

Sulfan · 11. 06. 2012 22:24

Buďto jak říká ↑ user: nebo se dá lehko odvodit takováhle identita na základě vyjádření součtu prvních n členů geometrické posloupnosti a jejím následným zderivováním:
$\sum_{k=0}^{+\infty}k\cdot x^{k-1}=\underset{n \to \infty}{\lim}\sum_{k=0}^{n}{(x^k)}'=\underset{n \to \infty}{\lim}\left [\frac{n\cdot x^n}{x-1}-\frac{x^n-1}{(x-1)^2} \right ]$

kaja.marik

Anebo secist $\sum_{1}^{\infty }{n}{x^{n-1}}$ . Treba tak, ze to je derivace rady $\sum_{1}^{\infty }{x^{n}}$ , kterou secteme snadno. A potom x=1/3.

EDITACE: Tak Sulfan byl rycheljsi...

vanok · 12. 06. 2012 00:05 — Editoval vanok (12. 06. 2012 00:09)

↑ Sulfan:
Pre uplnost pridavam, ze to plati za podmienky $|x|<1$ a vtedy $\sum_{k=0}^{+\infty}k\cdot x^{k-1}=\frac 1{(1-x)^2}$

Poznamka:
Ak $|x|<1$ , $\sum_{1}^{\infty }{x^{n}}= \frac 1 {1-x}$
a akoze $(\frac 1 {1-x})'=\frac 1{(1-x)^2}$ . Tak mame, ze:
Ak $|x|<1$ , sucet rady $\sum_{k=0}^{+\infty}k\cdot x^{k-1}$ (co je rada derivacii clen po clene rady $\sum_{1}^{\infty }{x^{n}}$ ) je derivacia suctu rady $\sum_{1}^{\infty }{x^{n}}$