Matematické Fórum

drabi · 05. 10. 2012 19:30

Ahoj, nějak jsem se zasekla u jednoho příkladu, který máme za úkol.

Dokažte, že je-li číslo $a$ transcendentní, pak je číslo $\sqrt{a}$ také transcendentní

nějak mě moc nenapadá, jak na to jít.. koukala jsem se různě po netu a narazila akorát na toto.
Pak jsem přemýšlela nad tím, jestli to nedokazovat nepřímo, že :
$\sqrt{a}$ je algebraické, pak i $a$ je algebraické.
Akorát jsem s tím nijak nehnula. Mohl by mi prosím někdo poradit? Díky

check_drummer · 05. 10. 2012 23:40

↑ drabi:
Ahoj, netvoří náhodou algebraciké prvky těleso? A pokdu ano, tak jsou tedy uzavřené na součin...

drabi · 06. 10. 2012 08:56

↑ check_drummer:
ahoj, to je možné, ale tuto teorii k dispozici momentálně nemám, přednáška je skoupá na informace:(
Nenapadá tě jiný způsob?

jarrro · 06. 10. 2012 13:41

stačí ukázať ,že ak je nejaké číslo koreňom polynómu s racionálnymi číslami tak aj jeho mocnina je koreňom polynómu s racionálnymi číslami
napr. pomocou resultantu
konkrétne polynóm s koreňom mocniny (nie nutne minimálny) bude
$Q{$t$}=\mathrm{Res}{$P{\(x$}, x^{\mathrm{deg}{$P$}}P{$\frac{t}{x}$}, x\)}$

drabi · 07. 10. 2012 13:37 — Editoval drabi (07. 10. 2012 13:37)

↑ jarrro:
ahoj, díky za reakci.
Koukám teď na to a trochu se v tom ztrácím, pravděpodobně to nějak špatně chápu.
Co se týče definice, tak se tam píše, že
$\text{res}(P,Q) = \prod_{(x,y): P(x) = Q(y) = 0} (x-y)$
takže například pro tyto polynomy:
$P(x) = x-2$
$Q(y) = y^2 + 3y - 4$
by byl $\text{res}(P,Q) = (2-1)(2-(-4)) = 6$
když jsem se koukala i na další wiki odkaz, tak tam se definuje, pomocí determinantu, takže pro náš konkrétní případ:

$\text{res}(P,Q) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -4 \\ \end{vmatrix} = -64$

musela jsem to nějak špatně pochopit, mohl bys mi s tím prosím pomoct?

jarrro · 07. 10. 2012 14:15 — Editoval jarrro (07. 10. 2012 14:54)

tá matica má byť takto
$\text{res}(P,Q) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2\\ 1 & 3 & -4\\ \end{vmatrix}$
a napr.
pre prípad racionálneho čísla a
je daný polynóm v tvare resultantu
$Q{$t$}=\mathrm{Res}{$x^2-a,x^2\(\(\frac{t}{x}$^2-a\),x\)}=\mathrm{Res}{$x^2-a,-ax^2+t^2,x$}=\nl =$\sqrt{a}-\frac{\left|t\right|}{\sqrt{a}}$$\sqrt{a}+\frac{\left|t\right|}{\sqrt{a}}$$-\sqrt{a}-\frac{\left|t\right|}{\sqrt{a}}$$-\sqrt{a}+\frac{\left|t\right|}{\sqrt{a}}$=$a-\frac{t^2}{a}$^2$
podobne aj pre neracionálne a len miesto polynómu druhého stupňa vziať minimálny(nemusí byť, stačí ľubovoľný s racionálnymi koeficientami, ale zase brať polynóm stupňa milión miesto napr. 4 by bolo odveci) polynóm odmocniny z a. Prípadne sa môže vymeniť t s x, aby výsledný polynóm bol v premennej x, ale to je už len o estetike a nie o logike či matematike

drabi · 07. 10. 2012 14:24

↑ jarrro:
jo jasně, takže ale pak to vychází -6, takže
místo
$\text{res}(P,Q) = \prod_{(x,y): P(x) = Q(y) = 0} (x-y)$
by to mělo být
$\text{res}(P,Q) = \prod_{(x,y): P(x) = Q(y) = 0} (y - x)$

jarrro · 07. 10. 2012 14:39 — Editoval jarrro (07. 10. 2012 14:43)

↑ drabi:opravil som $-2$ miesto 2 koeficienty sa berú spolu so znamienkom

vanok · 07. 10. 2012 17:16 — Editoval vanok (07. 10. 2012 17:18)

Ahoj ↑ drabi:,
Co sa tyka dokazu tvojej vety
je-li číslo $a$ transcendentní, pak je číslo $\sqrt{a}$ také transcendentní
v kontrapoznej forme
$\sqrt{a}$ je algebraické, pak i $a$ je algebraické

som napisal tu
malu poznamku co by ta mohla zaujimat... a to specialne #131.

drabi · 07. 10. 2012 18:02

↑ jarrro: ↑ vanok:
děkuji vám oběma, už je mi to jasné:)

Matematické Fórum

#1 05. 10. 2012 19:30

transcendentní číslo

#2 05. 10. 2012 23:40

Re: transcendentní číslo

#3 06. 10. 2012 08:56

Re: transcendentní číslo

#4 06. 10. 2012 13:41

Re: transcendentní číslo

#5 07. 10. 2012 13:37 — Editoval drabi (07. 10. 2012 13:37)

Re: transcendentní číslo

#6 07. 10. 2012 14:15 — Editoval jarrro (07. 10. 2012 14:54)

Re: transcendentní číslo

#7 07. 10. 2012 14:24

Re: transcendentní číslo

#8 07. 10. 2012 14:39 — Editoval jarrro (07. 10. 2012 14:43)

Re: transcendentní číslo

#9 07. 10. 2012 17:16 — Editoval vanok (07. 10. 2012 17:18)

Re: transcendentní číslo

#10 07. 10. 2012 18:02

Re: transcendentní číslo