Matematické Fórum

hans66 · 23. 11. 2012 19:02

Ahoj, chtěl bych se zeptat zda tato limita jde řesit bez L hospitalova pravida? $\lim_{x\to1} \sqrt[10]{x-1} \cdot \ln (x-1)$
popřípadě kdyby šla, mohli by jste mi poradit jak na to? děkuji

hans66 · 23. 11. 2012 19:34

↑ hans66: popřípadě jěšte limitu $\lim_{x\to0+} \sqrt{x}\ln x$

jelena · 24. 11. 2012 09:54

Zdravím,

zkoušela jsem najít úpravu (rozšířit), aby to vedlo k 4. vzorci v odkazu, ale to se mi nepovedlo. Tak snad někdo z kolegů bude více úspěšný.

Je to zadání - bez l´Hospital, nebo jen Tvůj zájem? Jinak - neodpovídej si, prosím, sám přidáním dalšího příspěvku, takové téma se zatoulá, lepší nové téma. Děkuj.

hans66 · 24. 11. 2012 10:12

↑ jelena:
Máme zápočtový test a učim se limity ze zkoušek, ale tam už se mohl pouzil Lhospital ale v zapooctu ne, tak jsem se zeptal:)

Bati · 24. 11. 2012 11:22

Ahoj,
dá se to řešit s využitím toho, že logaritmus roste od jistého x0 pomaleji než libovolná mocnina x, přesněji, že:
$\forall \varepsilon>0\quad\exists x_0\quad\forall x>x_0:\quad\ln{x}<x^\varepsilon$ .
Toto tedy platí pro velká x, ale my bychom podobnou vlastnost potřebovali v okolí nuly, takže si to tam převedu:
$\ln{x}<x^\varepsilon\nl -x^\varepsilon<\ln1-\ln{x}\nl -\frac{1}{$\frac{1}{x}$^\varepsilon}<\ln{\frac1x}$
Teď bych chtěl udělat substituci $y=\frac1x$ , abych mohl psát, že $\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall y\in(0,\delta):\quad -\frac{1}{y^\varepsilon}<\ln{y}$ . To ale vždy platí, když zvolím $\delta:=\frac{1}{x_0}$ , takže požadovanou vlastnost mám dokázanou, teď ji jen použiju.

Obecně, dejme tomu, že budu chtít spočíst limitu $\lim_{x\to0+}x^p\ln{x}$ , kde $p>0$ .
Jednak je jasné, že v pravém okolí nuly platí: $x^p\ln{x}<x^p\cdot0=0$ , což je náš horní policajt.
Dolního najdu podle odvozené vlastnosti tak, že zvolím např. $\varepsilon:=\frac{p}2>0$ . Pro takové epsilon tedy existuje nějaké pravé okolí nuly tak, že platí: $-\frac{1}{x^{\frac{p}2}}<\ln{x}$ . Tudíž pod dosazení: $x^p\ln{x}>x^p\cdot\frac{-1}{x^{\frac{p}2}}=-x^{\frac{p}{2}}\to0$ .
Oba policajti kovergují k nule, tudíž i naše limita je 0. Tím jsou vyřešeny oba tvé příklady (a nekonečně jiných:-).

jelena · 24. 11. 2012 17:08

↑ Bati:

děkuji velice.

Vidím, že tento vztah doporučuješ i tady, kolega Hans66 by mohl upřesnit, zda ho mají uveden, že mohou používat bez důkazu, nebo zda dokazovat, což by mi přišlo náročnější, než l´Hospital. Nějak mám zafixováno, že mezi důsledky (следствия) druhé pozoruhodné limity nepatří. Tak?

Pokud by bylo povoleno, tak samotné použití už je zřejmé. Počkáme ještě, co kolega.

Bati · 24. 11. 2012 17:47

↑ jelena:
Rádo se stalo,
tato limita mezi důsledky limit v odkazu pravděpodobně nepatří. Pokud vynechám l'Hospitala, tak toto odvození je, myslím, jediná cesta. Domnívám se ale, že tato limita je tak často používaná, že se vyplatí věnovat čas jejímu důkazu a zapamatování.

jelena · 24. 11. 2012 17:51

↑ Bati:

také bych řekla, že jediná cesta. Zapamatování - ano, ale na technikách, zemědělkách apod. mají (měli jsme) seznam povolených limit bez důkazu, tak proto se ptám kolegy, zda v takovém seznamu má.

Děkuji za podrobný důkaz a upřesnění.

Matematické Fórum

#1 23. 11. 2012 19:02

limita bez L hospitala

#2 23. 11. 2012 19:34

Re: limita bez L hospitala

#3 24. 11. 2012 09:54

Re: limita bez L hospitala

#4 24. 11. 2012 10:12

Re: limita bez L hospitala

#5 24. 11. 2012 11:22

Re: limita bez L hospitala

#6 24. 11. 2012 17:08

Re: limita bez L hospitala

#7 24. 11. 2012 17:47

Re: limita bez L hospitala

#8 24. 11. 2012 17:51

Re: limita bez L hospitala

Zápatí