Matematické Fórum

Klara-Novotna

Pomocí Geršgorinovy věty ověřte pozitivní definitnost matice:

Prosím poraďte mi jak na to..
Děkuji

Kondr · 14. 12. 2008 13:18

Spektrum matice podle Geršgorinovy věty leží ve sjednocení uzavřených koulí B(4,2), B(3,2). Proto mají všechna vlastní čísla kladnou reálnou část, matice je proto pozitivně definitní.

kaja.marik · 14. 12. 2008 16:17

On uz to napsal Kondr. S cim je konkretne potreba jeste radit?

Kondr · 14. 12. 2008 16:45

↑ Klara-Novotna:Ještě by se hodilo připsat, jak se spočítají ty poloměry.

kaja.marik · 14. 12. 2008 18:16

↑ Kondr:a pripsat, odkud se vzaly ty stredy

kaja.marik

Presne podle te vety.
Mate pred sebou presne zneni vety?
http://mathworld.wolfram.com/Gershgorin … eorem.html

vosa · 14. 12. 2008 20:34 — Editoval vosa (14. 12. 2008 20:53)

↑ Klara-Novotna:

Podle věty spočítáš poloměry koulí:
$r_i = \sum^{4}_{j=1, j \neq i} |a_{ij}|$

kde $A = (a_{ij})$ a $a_{ii}$ jsou odpovídající středy koulí.
to například znamená: $r_2 = a_{2, 1} + a_{2, 3} + a_{2, 4} = 1+0+1=2$
tak získáš poloměr jedné koule, její střed je pak $a_{2, 2} = 3$ , čili máš kouli B(3, 2). Obdobně získáš další koule. Zbytek už napsal Kondr.

vosa · 14. 12. 2008 22:52

↑ Klara-Novotna:

aha, ty asi nevíš, co je to vlastní číslo? Nebo jeké -1? -1 samozřejmě je reálné, ale čísla která jsou přímo v té matici napsaná a vlastní čísla jsou něco jiného...
www.umat.feec.vutbr.cz/~bastinec/zmnm.pdf
zkus tohle, najdeš tam vlastní čísla i tu větu, tak rychle mě nic jiného nenapadá

vosa · 14. 12. 2008 22:54

↑ Klara-Novotna:

Kdyz chceš získat poloměr se středem a33 tak hledáš r3 a postupuješ přesně podle toho vzorce tzn: a31+a32+a34

vosa · 14. 12. 2008 23:18 — Editoval vosa (14. 12. 2008 23:25)

↑ Klara-Novotna:

1) No když se koukneš na ten vzorec, tak zjistíš, že jsou tam absolutní hodnoty

2)ty vypocitas polomer se stredem u vsech hodnot $a_{ii}$ , ale v tomto priklade jsou ty ostatni polomery 0

3)nejsou to realna cisla matice ale vlastni cisla matice

4) matice je positivne definitne = vlastni cisla jsou vetsi nez 0.
radsi to jeste zkusim vysvetlit :)

Aplikujes vetu diky ktere najdes dve koule: B(3,2) a B(4,2), vlastni cisla lezi v jejich sjednoceni... tzn v intervalu [1,6]...tzn jsou kladna. To ze jsou vlastni cisla kladna znamena, ze matice je positivne definitni

Uz lepsi?

pokus123 · 22. 12. 2009 09:44

JAk zjistím v tomto případě poloměry koulí???

Kondr · 22. 12. 2009 12:42

kaja.marik napsal(a):
Presne podle te vety.
Mate pred sebou presne zneni vety?
http://mathworld.wolfram.com/Gershgorin … eorem.html

↑ pokus123: Kterou část tohoto příspěvku jsi nepochopil? Je problém s angličtinou nebo definicemi?

jirka.jirka. · 27. 12. 2009 14:59

zdravím! Mohl by mi PLS někdo objasnit, jak Kondr přišel na to, že matice leží ve sjednocení uzavřených koulí B(4,2), B(3,2)??? Tohle nějak mi nejde do hlavy! Dík moc

Kondr · 27. 12. 2009 16:03

↑ jirka.jirka.: Téma se jmenuje Geršgorinova věta. To v té době Kondr slyšel poprvé. Zadal do googlu "gershgorin theorem", vyskočila na něj Wikipedie a Mathworld. Už si nepamatuju, který z těch článků jsem tehdy četl, ale ten na MathWorldu říká slovo od slova, jak ty koule najít.

A matice nikde neleží, v těch koulích leží její vlastní čísla.

jirka.jirka. · 27. 12. 2009 16:29

OK. Ale Celý den si hraju s tímto příkladem, a nějak ho nemůžu stále vyřešit. Tak jestli mi můžeš pomoci, a napsal by jsi mi odpověď na to. Snad by mi to pomohlo k jeho pochopení. Dík moc

Kondr · 28. 12. 2009 06:44

↑ jirka.jirka.: První číslo na úhlopříčce (tj. střed první koule) je 2, ostatní čísla v prvním řádku jsou 1,0,0, první poloměr je |1|+|0|+|0|=1. První koule je proto B(2,1). Analogicky je druhá B(4,3), třetí B(2,1) a čtvrtá B(3,1). Když si je nakreslíme, vidíme, že všechny leží uvnitř B(4,3).

FoxVK · 05. 01. 2011 23:34 — Editoval FoxVK (05. 01. 2011 23:41)

Můžu si to představit tak že středy těch koulí leží na jedné přímce (proto že jsou určeny jenom jedním číslem) a nebo mi něco uniká ?

Kondr · 06. 01. 2011 00:55

↑ FoxVK: Pokud jsou čísla na úhlopříčce reálná, pak ano. Obecně mohou být komplexní a pak by měly středy různé y-ové souřadnice.

Matematické Fórum

#1 14. 12. 2008 11:29 — Editoval Klara-Novotna (14. 12. 2008 11:30)

Geršgorinova věta

#2 14. 12. 2008 13:18

Re: Geršgorinova věta

#3 14. 12. 2008 16:17

Re: Geršgorinova věta

#4 14. 12. 2008 16:45

Re: Geršgorinova věta

#5 14. 12. 2008 18:16

Re: Geršgorinova věta

#6 14. 12. 2008 19:27 — Editoval kaja.marik (14. 12. 2008 19:29)

Re: Geršgorinova věta

#7 14. 12. 2008 20:34 — Editoval vosa (14. 12. 2008 20:53)

Re: Geršgorinova věta

#8 14. 12. 2008 22:52

Re: Geršgorinova věta

#9 14. 12. 2008 22:54

Re: Geršgorinova věta

#10 14. 12. 2008 23:18 — Editoval vosa (14. 12. 2008 23:25)

Re: Geršgorinova věta

#11 22. 12. 2009 09:44

Re: Geršgorinova věta

#12 22. 12. 2009 12:42

Re: Geršgorinova věta

kaja.marik napsal(a):

#13 27. 12. 2009 14:59

Re: Geršgorinova věta

#14 27. 12. 2009 16:03

Re: Geršgorinova věta

#15 27. 12. 2009 16:29

Re: Geršgorinova věta

#16 28. 12. 2009 06:44

Re: Geršgorinova věta

#17 05. 01. 2011 23:34 — Editoval FoxVK (05. 01. 2011 23:41)

Re: Geršgorinova věta

#18 06. 01. 2011 00:55

Re: Geršgorinova věta

Zápatí