Matematické Fórum

MinoDemovic

Trochu zložitejšia úloha z CPS-juniorov minulého roka... Neviem si s tým rady... resp. bol by som rád keby ste mi vysvetlili - napovedali ako sa takéto úlohy riešia.

Na tabuli je napísaných niekoľko rôznych reálnych čísel. Vieme, že hodnota súčinu
ľubovoľných dvoch rôznych čísel z tabule je tiež napísaný na tabuli. Určte, koľko najviac
čísel musí byť napísaných na tabuli.

Ďakujem :)

*** Pardon, zlá skupina

BakyX · 05. 05. 2013 16:33 — Editoval BakyX (05. 05. 2013 16:34)

Princíp tejto úlohy je približne takýto:

Môže tam byť $0$ , uvažujme len o nenulových číslach.

Ak je tam práve jedno ďalšie číslo, tak tvrdenie platí. Nech sú tam dve ďalšie.

Označme tie čísla $a,b$ . Podľa tvrdenia tam je aj $ab$ , $ab^2$ , $ab^3$ ...

Máme $a \neq 0$ . Pre $b \neq \pm 1$ postupnosť $ab^k$ generuje nekonečne veľa rôznych čísel, lenže na tabuli ich je konečne veľa čísel.

Preto $b=1$ alebo $b=-1$ . To, čo sme dokázali hovorí vlastne to, že v každej dvojici nenulových čísel vybraných z tej množiny musí byť $1$ alebo $-1$ .

Ďalej to určite už dokončíš.

Všeobecne sa snažíš vďaka tej podmienke vygenerovať nekonečne veľa čísel, aby si dostal až na nejaké špeciálne prípady spor s tým, že ich je konečne veľa.

Podobná úloha: http://skmo.sk/dokument.php?id=674 (2.)

Otázka: Ideš na CPSJ ?

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2013 16:21 — Editoval MinoDemovic (05. 05. 2013 16:25)

Súčin 2 čísel množiny=nejakému číslu množiny

#2 05. 05. 2013 16:33 — Editoval BakyX (05. 05. 2013 16:34)

Re: Súčin 2 čísel množiny=nejakému číslu množiny

Zápatí