Matematické Fórum

apurvathea

potrebovala bych poradit s prikaldem c. 2 pouziju tady vzorec $e^g^l^n^f$ a vyjde mi e^0 tedy 1. Je to tak dobre?

apurvathea · 18. 01. 2009 22:03

${\lim}\limits_{x \to \infty}(\frac{3x}{3x+1})^{x-1}$

pouzila jsem vzorec $e^g^l^n^f$ a vyslo e^0 cili 1?

Marian · 18. 01. 2009 22:08 — Editoval Marian (18. 01. 2009 22:09)

↑ apurvathea:
Lze aplikovat třeba fakt, že platí
$\lim_{x\to +\infty}\nosmash\left (\frac{3x}{3x+1}\right )=1\qquad\mathrm{a}\qquad\lim_{x\to +\infty}\nosmash x^{-1}=\lim_{x\to +\infty}\nosmash\frac{1}{x}=0.$
Odtud
$\lim_{x\to +\infty}\nosmash\left (\frac{3x}{3x+1}\right )^{x^{-1}}=1^0=1.$

Rohac · 19. 01. 2009 08:50

↑ Marian:

Tento postup lze praktikovat vzdy? Tedy udelat limitu vnitrni fukce a exponentu zvlast a pak je opet slozit do mocniny?

Marian · 19. 01. 2009 09:54

↑ Rohac:
Daný výraz musí mít především smysl.

ttopi · 19. 01. 2009 14:46 — Editoval ttopi (19. 01. 2009 16:37)

Jiné řešení může být upravit na pozoruhodnou limitu s "e".

${\lim}\limits_{x \to \infty}\Big(\frac{3x}{3x+1}\Big)^{\frac{1}{x}}={\lim}\limits_{x \to \infty}\Big(\frac{3x+1-1}{3x+1}\Big)^{\frac{1}{x}}={\lim}\limits_{x \to \infty}\Big(1+\frac{1}{-3x-1}\Big)^{\frac{1}{x}}=\nl={\lim}\limits_{x \to \infty}\Bigg(\Big(1+\frac{1}{-3x-1}\Big)^{-3x-1}\Bigg)^{\frac{1}{x(-3x-1)}}={\lim}\limits_{x \to \infty}e^{\frac{1}{x(-3x-1)}} ....$

EIDT: Až teď jsem si všiml, že to nebylo vidět celé, ten TeX to sám bohužel nezalomí a s tím jsem nepočítal :-)

Rohac · 19. 01. 2009 15:26

↑ ttopi:

mohu poprosit o vzorec, ktery byl pouzit pro prevod ${\lim}\limits_{x \to \infty}\Bigg(\Big(1+\frac{1}{-3x-1}\Big)^{-3x-1}\Bigg)^{\frac{1}{x(-3x-1)}}$ na ${\lim}\limits_{x \to \infty}e^{\frac{1}{x(-3x-1)}}$ ? Dost se v tom ztracim, dekuji predem

Marian · 19. 01. 2009 16:08

↑ Rohac:
ttopi to má zbytečně komplikované, ale myšlenka je správná. Je
$\lim_{x\to +\infty}\nosmash\left (\frac{3x}{3x+1}\right )^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to +\infty}\nosmash\left (1+\frac{-1}{3x+1}\right )^{(3x+1)\cdot\frac{1}{x(3x+1)}}=\exp\left (\lim_{x\to +\infty}\nosmash\frac{-1}{x(3x+1)}\right )=\mathrm{e}^0=1.$

ttopi · 19. 01. 2009 16:35

↑ Marian:
Já to nemám ani trochu komplikované. Mám to úplně stejné jako ty, akorát s rozdílem, že jsem zapisoval všechny kroky, jako například přičtení a odečtení 1, pak upravení na tvar "e". Tys tam rovnou vyplivl 1+zlomek. Myslím, že pokud to někdo nezná, tak je lepší to napsat polopatě, jako jsem to udělal já :-)

ttopi · 19. 01. 2009 16:41 — Editoval ttopi (19. 01. 2009 16:45)

Tam je převod takový, že to v té velké závorce je vlastně definice konstanty "e".

Ten vzorec je obecně třeba takovýto:
$\Big(1+\frac{1}{a}\Big)^b=\Bigg(\Big(1+\frac{1}{a}\Big)^a\Bigg)^{\frac{b}{a}}=e^{\frac{b}{a}}$
Pozn: Nepsal jsem tam limitu, je to jen takto aby to bylo vidět ten převod.

Nebo pro jiný typ:
$\Big(1+\frac{c}{a}\Big)^b=\Bigg(\Big(1+\frac{1}{\frac{a}{c}}\Big)^{\frac{a}{c}}\Bigg)^{\frac{b\cdot c}{a}}=e^{\frac{b\cdot c}{a}}$

Marian · 19. 01. 2009 17:27

↑ ttopi:

Nešlo mi samozřejmě o ten skok hned ke zlomku, ale o redukci tvých minus. Jinak je to samozřejmě totéž.
:-)

ttopi · 19. 01. 2009 18:58

Marian: Aha. Nevím kde, ale někde jsem se snad dočetl, že pokud je ta 1 s mínusem, pak by to bylo $e^{-1}$

Protože tam ta definice byla takováto:
${\lim}\limits_{x \to \infty}\Big(1+\frac{k}{x}\Big)^x=e^k$

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2009 21:11 — Editoval apurvathea (18. 01. 2009 22:04)

limita

#2 18. 01. 2009 22:03

Re: limita

#3 18. 01. 2009 22:08 — Editoval Marian (18. 01. 2009 22:09)

Re: limita

#4 19. 01. 2009 08:50

Re: limita

#5 19. 01. 2009 09:54

Re: limita

#6 19. 01. 2009 14:46 — Editoval ttopi (19. 01. 2009 16:37)

Re: limita

#7 19. 01. 2009 15:26

Re: limita

#8 19. 01. 2009 16:08

Re: limita

#9 19. 01. 2009 16:35

Re: limita

#10 19. 01. 2009 16:41 — Editoval ttopi (19. 01. 2009 16:45)

Re: limita

#11 19. 01. 2009 17:27

Re: limita

#12 19. 01. 2009 18:58

Re: limita