Matematické Fórum

halogan · 19. 01. 2009 20:31

Dobrého večera,

chystám se na jednu VŠ (FSV UK), kde je první dva roky vyučovaná matematika z matfyzu. Resp. mat. analýza pro informatiky.

Jde mi o to, že jsem si prohlížel příklady na stránkách fakulty a jediné, u čeho jsem se chytal, byly úlohy v příkladu 5.

Zajímají mne hlavně limity. Ty jsme sice dělali, ale asi nějaké příliš jednoduché a já nemám nejmenší ponětí, jak počítat libovolnou limitu z jakékoliv sekce.

Kdybyste mě prosím odkázali na nějaký zdroj, resp. mi řekli nějaké pojmy, které by mi pomohly při řešení takovýchto limit.

Sice se to tu řeší často, ale nikde jsem nenašel nějaký souhrn postupů.

Děkuji pěkně za cokoliv.

lukaszh

↑ halogan:
Máš pravdu, niektoré sú skutočne drsné :-) Ale tak, myslím, že si aj nejaké limity sem prispieval. Najľahšie sú tie, kde sa dá dosadiť. Tie sú ale bohužiaľ výnimočné aj na stredných školách. Určite vieš, že limitovanú funkciu musíš upraviť do vyhovujúceho tvaru. Ak máš limitu typu:
$\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}\,;\;a\in\mathbb{R}$
a aj čitateľ aj menovateľ sú po dosadení nuly, tak môžeš s istotou tvrdiť, že číslo a je koreňom polynómu, a môžeš oba polynómy vydeliť (x-a), potom sa už väčšinou dá dosadiť. Teda ak $p(a)=0\;\wedge\;q(a)=0\quad\Rightarrow\quad p(x)=(x-a)\cdot p'(x)\;\wedge\;q(x)=(x-a)\cdot q'(x)$
Tá čiarka neoznačuje deriváciu, ale len odlišuje polynómy.

Pokiaľ sa vo výraze vyskytujú veľké mocniny, teraz len strelím príklad:
$\lim_{x\to\infty}\frac{(x-10)^{20}-(x-20)^{10}}{x^{20}}$
tak použi rozklad podľa binomickej vety a pokráť, čo sa len dá. Horšie sú goniometrické limity, kde predovšetkým treba ovládať vzťahy, ktoré možno poznáš:
$\lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{kx}=1\,;\;k\in\mathbb{R}\backslash\{0\}\nl\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\nl\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0\nl\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1\nl\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\nl\lim_{x\to0}\frac{\text{e}^x-1}{x}=1\nl\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a\,;\;a\,>\,0$
Musíš len tréningom nabrať tie triky, ktoré sa pri úpravách robia.
Ale keď trošku pohľadáš v histórii, tak sa mi zdá, že veľa podobných sme tu mali :-) Alebo sa potom pýtaj na konkrétne.

Palmicka · 19. 01. 2009 21:13

potřebovala bych prosim pomoci s příkladem, který se nám vyskytl ve zkoušce...
tady je: lim x>o Ln (1+x3)/x.sin2x...
snad je to pochopitelné, nějak se mi nepodařilo komunikovat s vašimi matematickymi znaky:)
díky za odpověď..

Pavel Brožek

↑ lukaszh:

$\lim_{x\to\infty}\frac{(x-10)^{20}-(x-20)^{10}}{x^{20}}$

Tam bych binomickou větu nepoužíval, prostě bych zlomek krátil $x^{20}$ .

↑ halogan:

Ty limity co vypsal ↑ lukaszh: je opravdu dobré si pamatovat, dají se často použít pro zjednodušení výrazu v limitě. Např budu mít limitu

$\lim_{x\to10}\ln(g(x))\cdot f(x)$ , kde $\lim_{x\to10}g(x)=1$ .

Zdánlivě se nedá žádná známá limita použít, ale pokud si to upravím, dostanu

$\lim_{x\to10}\ln(g(x))\cdot f(x)=\lim_{x\to10}\frac{\ln(1+(g(x)-1))}{g(x)-1}\cdot(g(x)-1)\cdot f(x)=\lim_{x\to10}(g(x)-1)\cdot f(x)$ ,

což je o dost jednodušší. (Tu funkci f jsem tam psal jen proto, aby to nevypadalo, že tam nemůže nic jiného být :-). Je dobré si tam ty známé limity připravit, když tam nejsou přímo. Tohle se dá např. dobře použít v příkladu 2 písemky B.

↑ Palmicka:

Založ si prosím vlastní téma.

halogan

↑ lukaszh:

Mně šlo jen o ten obecný postup a moc děkuji za rozsáhlou odpověď.

My jsme dělali ve škole jen posloupnosti (děl největší mocninou n ze jmenovatele) a dosazování/krácení.

O dělení polynomů slyším prvně a zkusím, budu si muset zopakovat dělení mnohočlenů mnohočlenem.

Z daných limit pro gon. funkce znám akorát tu první. Díky, zapíšu si.

Co se týče polynomů - rozklad dle binomické věty? Takže 32 členů nahoře? Nebo asi nechápu.

BrozekP: Taky děkuju moc. Sice se v tom zatím tolik neorientuji, ale ono mi to časem docvakne.

---

Spoléhám sice na to, že to na VŠ budeme brát, ale přišlo mi to tak diametrálně odlišné od těch limit, které jsme dělali ve škole, že jsem se trochu zděsil.

lukaszh · 19. 01. 2009 23:55

↑ halogan:
Aj sa niektorých z nich desím, a to mám už za sebou prvý semester analýzy :-) Aj mne tie príklady časom docvaknú, len na začiatku je toho viac ako len limity :-)

Tá otázka ohľadom binomickej vety, tam nemusíš vypisovať všetky členy. Proste ako si bol zvyknutý, ide to do nekonečna, tak vydelím najvyššou mocninou, v tomto prípade $x^{20}$ a ostatné menšie mocniny nemusíš vypisovať, len si to domyslíš.

halogan · 28. 11. 2009 10:45

Dobře jsi mě vystrašil :)

Zatím mám za sebou asi 25 limit od Kalendy a zadrhnul jsem se u dvou z nich, jinak z toho vždy "koukaly" výše zmíněné limity, a to dost jasně. Zádrhely bývají též u binomického rozvoje, když se člověk překoukne v těch řádách číslic a písmen.

To mi ale ke zkoušce nestačí, protože zatím neumím odůvodnit své postupy a vypsat všechny ty věty, které k tomu používám. Uvidíme, jak půjdou průběhy funkce.

Hezký den přeji a díky za pomoc.

Marian · 28. 11. 2009 13:21

↑ halogan:

Velmi roztomilé úlohy. Určitě si je ve vlaku na malý kousek papíru promyslím. Pokud bys měl konkrétnější problém s nějakým výpočtem, rád se připojím do diskuse (zbyde-li chvíle času) ...

;-)

Marian · 28. 11. 2009 13:25

↑ lukaszh:
Nedoporučuji "domýšlet" něco. Abychom nemuseli vypisovat všechno, na to známe velmi známý prostředek. Jedná se především o zápis součtu sumačním znakem, popř. zápis součinu znakem pro součin. Jen pak je absolutně jasné, co místo teček příjde. Tam, kde se matematika bere vážně, je třeba vždy trvat na tomto jednoznačném zápisu (doporučuji to přinejmenším). Ale vidím, že podobným neduhem trpí i autor zadání. Měl by si to doladit ...

halogan · 28. 11. 2009 13:51

↑ Marian:

Děkuji, nejspíš se ještě ozvu, už tu mám své téma.

Zrovna dnes jsem již myslel, že jsem v koncích, ale jak jsem to těch 5 minut přepisoval do LaTeXu, tak mě trklo :-)

---

K tomu vypisování. My nějak nepoužíváme vůbec sumy na přednáškách, asi nás tím nechtějí zatěžovat. Pro valnou část studentů je obtížné pochopit tu omáčku okolo, takže to by je možná ještě více zamotalo.

---

Jinak OT, když už tě tu máme - Jak to máte s tím vaším tunelem? Nezasáhlo to nějak i vaše obydlí?

lukaszh · 28. 11. 2009 14:56

Fúha, toto je už riadne stará téma. Na začiatku roka sme ju začali a teraz ju dokončujeme :-)

↑ Marian:
Odteraz si budem dávať pozor na to čo napíšem :-) Vidím, že Marianovmu oku neunikne ani maličkosť typu "len si to domyslíš" :-) OK, nevyjadroval som sa správne. V inom prípade, by som namiesto "domyslenia" určite použil o-symboliku
$\lim_{x\to0}\frac{o(x^n)}{x^n}=0$
To je tiež dobrá pomôcka, hlavne pri počítaní limít cez Taylorov rozvoj
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x-o(x)}{x}=1-\lim_{x\to0}\frac{o(x)}{x}=1$
Len toľko moje filozofické okienko... Vďaka za pripomienku.

Marian · 28. 11. 2009 15:04 — Editoval Marian (28. 11. 2009 15:08)

↑ halogan:

_____________ OT _____________
Nadloží zamýšleného (a zároveň zříceného) tunelu se zaváží střídavě struskou a betonem. Údajně se má znova razit (snad již obezřetněji). K místu neštěstí to mám 2 km, takže jsem mimo zasaženou oblast. Někdy je problém dostat se na fakultu v Ostravě do práce. Musím počítat se zpožděním až 40 minut, což je docela zásadní. Ale studenti ze slovenského příhraničí do školy zatím vždy dorazili a musím je tak trochu pochválit, protože patří k nejlepším. Osobně situaci okolo tunelu nesleduji, protože chystám přednášku na determinanty v LaTeXu. Využívám beamer a některá postscriptová makra. Práce nad hlavu ... Proto se ani příliš nemám kdy angažovat ve zdejším fóru. Snad to budu moci napravit v průběhu následujícího kalendářního roku 2010.
__________ Konec OT ___________

Marian · 28. 11. 2009 15:12 — Editoval Marian (28. 11. 2009 15:12)

↑ lukaszh:
Taylorův rozvoj je velmi silný prostředek k výpočtu limit. Proto se většinou snažím spočítat limitu jiným způsobem a není se čemu divit, že taková řešení jsou potom někdy i netriviálně zajímavá. Zpravidla je zapotřebí ujasnit si jisté odhady nebo vlastnosti funkcí v okolí nějakého "kritického bodu", etc. U takových řešení je někdy dokonce i možnost učit se a upevňovat celý aparát. Taylor je velmi rychlý a asi nám nepřinese v případě konkrétní úlohy takové potěšení z pokoření úlohy.

u_peg · 28. 11. 2009 15:52

↑ Marian:To iste plati podla mna i pre l'Hospitala. I jemu sa snazim vyhnut, ak to ide. Po pripade ho poizijem, aby som vedel, co je vysledok a potom sa to snazim riesit inym trikom :)

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2009 20:31

Limity (MFF, matematická analýza)

#2 19. 01. 2009 20:49 — Editoval lukaszh (27. 01. 2009 17:50)

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#3 19. 01. 2009 21:13

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#4 19. 01. 2009 21:16 — Editoval BrozekP (19. 01. 2009 21:17)

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#5 19. 01. 2009 21:23 — Editoval halogan (19. 01. 2009 21:27)

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#6 19. 01. 2009 23:55

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#7 28. 11. 2009 10:45

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#8 28. 11. 2009 13:21

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#9 28. 11. 2009 13:25

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#10 28. 11. 2009 13:51

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#11 28. 11. 2009 14:56

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#12 28. 11. 2009 15:04 — Editoval Marian (28. 11. 2009 15:08)

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#13 28. 11. 2009 15:12 — Editoval Marian (28. 11. 2009 15:12)

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

#14 28. 11. 2009 15:52

Re: Limity (MFF, matematická analýza)

Zápatí