Matematické Fórum

xdobia09 · 02. 04. 2014 21:03

Mám tu spoustu příkladů typu:

$4x^{2}+4y^{2}+4x-8y+1=0$ je rovnicí = kružnice
Na výběr, je vždy kružnice, parabola, hyperbola a elipsa. Formát zadání je vždy stejný. Lze rovnice nějak vždy upravit a spolehlivě poznat o jakou se jedná?

Děkuji za pomoc!

Freedy · 02. 04. 2014 21:15

Samozřejmě, každá kuželosečka lze zapsat ve tvaru:
$ax^2+bx^2+2cxy +2dx +2ey+f=0$

Pokud máš nějaký určitý typ této rovnice, musíš se snažit jí upravit na středový tvar. Dále by ti také mohlo pomoct to, že:
pokud je jedna ze dvou neznámých v druhé mocnině a ta zbývající ne, jedná se pravděpodobně o parabolu
pokud jsou obě neznámé v druhé mocnině, ale u jedné z nich je opačné znaménko, jedná se pravděpodobně o hyperbolu
pokud jsou obě neznáme v druhé mocnině, obě mají stejné znaménko (+ +) (- -) tak rozlišujeme dva typy:
mají stejný koeficient = kružnice
mají rozdílný koeficient = elipsa

Tvoje kuželosečka by se dala upravit následovně:
$4x^2+4y^2+4x-8y+1=0$
$4(x^2+x)+4(y^2-2y)=-1$
doplníme na čtverec:

$4(x^2+x +\frac{1}{4})+4(y^2-2y+1)=-1+1+4$
$4(x+\frac{1}{2})^2+4(y-1)^2=4$
$(x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=1$

Jedná se tedy o kružnici se středem v bodě $[-\frac{1}{2};1]$ a poloměrem 1.

zdenek1 · 02. 04. 2014 21:23

↑ xdobia09:
koeficienty u kvadratických členů jsou stejné (i se znaménky) -> podezřelá je kružnice
koeficienty u kvadratických členů nejsou stejné ale mají stejná znaménka -> podezřelá je elipsa
koeficienty u kvadratických členů mají opačná znaménka -> podezřelá je hyperbola
je tam jen jeden kvadratický člen -> podezřelá je parabola

vše za předpokladu, že v rovnici není smíšený člen $xy$ .

Freedy · 02. 04. 2014 21:25

zdenek1 napsal(a):
vše za předpokladu, že v rovnici není smíšený člen $xy$ .

a když tam je?

zdenek1 · 02. 04. 2014 22:10

↑ Freedy:
TAk máš problém. Musíš tu křivku otočit. Tak jednoduše, jak je uvedeno výše, to nepoznáš.

vanok · 02. 04. 2014 22:39 — Editoval vanok (02. 04. 2014 22:49)

Ahoj ↑ zdenek1:
Mala poznamka:
Ako si spravne naznacil vyraz
$ax^2+bx^2+2cxy +2dx +2ey+f=0$
umoznuje urcit kuzelosecku v pripade ked c=0.
Tiez, ze vdaka vhodnemu otoceniu, mozme transformovat danu rovnicu kuzelosecky "na formu bez xy"

Ale naviac plati aj tento vysledok pre formu $ax^2+bx^2+2cxy +2dx +2ey+f=0$ :
Ak $ab-c^2>0$ mame rovnicu elipsy ( pripadne kruznice) alebo bodu alebo $\emptyset$
ak $ab-c^2<0$ mame rovnicu hyperboly alebo zjednotenia dvoch roznobeznych priamok
a ak $ab-c^2=0$ ide rovnicu paraboly alebo jednej priamky alebo dvoch rovnobeznych priamok alebo $\emptyset$

xdobia09 · 02. 04. 2014 22:40

Díky za vysvětlení

byk7 · 02. 04. 2014 23:12

↑ vanok:

Zdravím, co za útvary může rovnice $Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$ generovat?
Klasicky - kružnice, elipsa, parabola, hyperbola.
Dál jsem zjistil, že to může být přímka, dvojice (různoběžných, nebo rovnoběžných) přímek, jeden bod nebo prázdná množina.

Ještě něco, nebo mám vše?

vanok · 02. 04. 2014 23:30 — Editoval vanok (02. 04. 2014 23:32)

↑ byk7:,
To su tzv degenerovane pripady.
Pozor v klasifikacii som pouzil co bolo napisane v predoslych prispevkoch: $ax^2+bx^2+2cxy +2dx +2ey+f=0$ !..
Priklad na bod
$x^2+y^2=0$

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2014 21:03

Rovnice kuželoseček

#2 02. 04. 2014 21:15

Re: Rovnice kuželoseček

#3 02. 04. 2014 21:23

Re: Rovnice kuželoseček

#4 02. 04. 2014 21:25

Re: Rovnice kuželoseček

zdenek1 napsal(a):

#5 02. 04. 2014 22:10

Re: Rovnice kuželoseček

#6 02. 04. 2014 22:39 — Editoval vanok (02. 04. 2014 22:49)

Re: Rovnice kuželoseček

#7 02. 04. 2014 22:40

Re: Rovnice kuželoseček

#8 02. 04. 2014 23:12

Re: Rovnice kuželoseček

#9 02. 04. 2014 23:30 — Editoval vanok (02. 04. 2014 23:32)

Re: Rovnice kuželoseček