Matematické Fórum

Makakpo

Ahoj, mame vetu: Funkcia je spojita v kazdom bode, v ktorom je diferencovatelna.
Ako to dokazat?

Ja by som mozno skusil nejako cez limitu, najprv dokazat ze kazda diferencovatelna funkcia v bode x ma limitu v bode x, a potom uz len dokazat ze kazda funkcia ktora ma limitu v bode x je v bode x aj spojita. Dobry/zly postup? Prosim navrhy, dakujem.

jarrro · 05. 04. 2014 23:58 — Editoval jarrro (06. 04. 2014 00:18)

existencia limity v ktorej vystupuje nejaká funkcia ešte nezaručuje existenciu limity tej funkcie
napríklad $\lim_{h\to \infty}{\frac{D{$h$}+hD{$x$}}{h}}=D{$x$}$
pritom Dirichletova funkcia nikde limitu nemá
a limitu môžu mať aj nespojité funkcie zober si napríklad
$f{$x$}=\begin{cases}\frac{\sin{$x$}}{x}\text{ ak }x\neq 0\\ 0\text{ ak }x=0\end{cases}$

Makakpo · 06. 04. 2014 00:00

Aha .. tak treba nieco ine vymysliet. Mozno sporom by sa nedalo? Ukazem ze nie je mozne aby nespojita funkcia v bode x bola diferencovatelna v bode x. ???

jarrro · 06. 04. 2014 00:14 — Editoval jarrro (06. 04. 2014 00:17)

$f{$x+h$}=f{$x$}+h\frac{f{$x+h$}-f{$x$}}{h}$
prípadne
$f{$x$}=f{$a$}+$x-a$\frac{f{$x$}-f{$a$}}{x-a}$

vanok · 06. 04. 2014 00:37

Tvoju vetu prepis trocha inac
Ak f je derivatelna v bode x ( hypoteza)
tak potom
f je spojita v bode x. ( konluzia)

Poznamka: vzorec od kolegu ↑ jarrro: , napr tento ti moze posluzit ( je lahko dokazatelny pre kazde nenulove h)

Napis tvoju hypotezu a konkluziu v jazyku limit.

Skus. Pokracovanie dokazu zajtra.

Makakpo · 06. 04. 2014 08:45

A ako tie dva vztahy pomozu pri dokazovani tejto vety?

jarrro · 06. 04. 2014 10:59

↑ Makakpo:tak že ju priamo dokazujú stačí na obidve strany aplikovať limitu

Makakpo · 06. 04. 2014 11:04

nejako si to neviem predstavit, ako na to?

vanok · 06. 04. 2014 11:45 — Editoval vanok (06. 04. 2014 11:51)

Hypoteza:
f je derivatelna v x
To sa ekvivalnte da povedat
$\lim_{h\to 0} \frac{f{$x+h$}-f{$x$}}{h}$
*Existuje
* $\in \mathbb{R}$
* a je $=f'(x)$
* $h\neq 0$

Konkluzia
To sa da vyjadrit takto
$\lim_{h\to0}f(x+h)$
*Je $\in\mathbb{R}$
* a je $=f(x)$

Tak vyuzi tuto rovnost od Jarra $f{$x+h$}=f{$x$}+h\frac{f{$x+h$}-f{$x$}}{h}$ aby z hypotezy si dokazal konkluziu.

jarrro · 06. 04. 2014 12:11

spojitosť v bode $x$ znamená, že
$\lim_{h\to 0}{f{$x+h$}}=f{$x$}$
keď za $f{$x+h$}$ dosadíš $f{$x$}+h\frac{f{$x+h$}-f{$x$}}{h}$ a použiješ základné vety o limitách tak ti to vyjde

Makakpo · 06. 04. 2014 13:26

ale ja ani nechapem co mi ma vyjst, nejako mi unika pointa.

vanok · 06. 04. 2014 13:57 — Editoval vanok (06. 04. 2014 13:58)

Vies $f{$x+h$}=f{$x$}+h\frac{f{$x+h$}-f{$x$}}{h}$ + hypotezu+ vety o limitach
Rovnost co plati ( pre nenulove h) plati aj pre limitu kazdej strany rovnosti.
To da.
$\lim_{h\to0}f$x+h$=\lim_{h\to0}$f{\(x$}+h\frac{f{$x+h$}-f{$x$}}{h}\)=...$

Pokracuj, ta limita na druhej strane sa da rozpisat na tri limity ...

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2014 23:41 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 23:58)

Spojitost a diferencovatelnost.

#2 05. 04. 2014 23:58 — Editoval jarrro (06. 04. 2014 00:18)

Re: Spojitost a diferencovatelnost.

#3 06. 04. 2014 00:00

Re: Spojitost a diferencovatelnost.

#4 06. 04. 2014 00:14 — Editoval jarrro (06. 04. 2014 00:17)

Re: Spojitost a diferencovatelnost.

#5 06. 04. 2014 00:37

Re: Spojitost a diferencovatelnost.

#6 06. 04. 2014 08:45

Re: Spojitost a diferencovatelnost.

#7 06. 04. 2014 10:59

Re: Spojitost a diferencovatelnost.

#8 06. 04. 2014 11:04

Re: Spojitost a diferencovatelnost.

#9 06. 04. 2014 11:45 — Editoval vanok (06. 04. 2014 11:51)

Re: Spojitost a diferencovatelnost.

#10 06. 04. 2014 12:11

Re: Spojitost a diferencovatelnost.

#11 06. 04. 2014 13:26

Re: Spojitost a diferencovatelnost.

#12 06. 04. 2014 13:57 — Editoval vanok (06. 04. 2014 13:58)

Re: Spojitost a diferencovatelnost.