Matematické Fórum

kaitlyn · 02. 06. 2014 23:00

Ahoj,

mohli byste mi prosím poradit (po krůčcích)? Najít obraz a jádro lineárního zobrazení dané předpisem zvládám, ale tohle je na mě trochu moc :(

Najděte předpis nějakého lineárního zobrazení $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tak, aby $\text{Ker}f = [(1,0,0), (1,1,1)]$ , $\text{Im}f = [(1,0,1)]$ .

Díky za každou radu :)

vanok · 03. 06. 2014 04:28

Ahoj ↑ kaitlyn:,
Toto cvicenie by mala byt jednoducha formalita, pre studenta, ktory asimiloval zakladne definicie o linearnych aplikaciach. (neviem preco, casto je to povazovane za tazke,dokonca az neriesitelne, cvicenie)

Iste vies, ze jedna linearna aplikacia je urcena obrazmy vektorov nejakej baze z vychodneho priestoru.
Text cvicenia ti okamzite da, ze pre f musi platit
f(1,0,0)=(0,0,0)
f(1,1,1)=(0,0,0)
Ostava este urcit obraz lubovolneho vektoru ktoru nie je v jadre,
( to znamena, ze ......) ktory je pochopitelne nenulovych nasobok z Im(f)
Napriklad, vyber f(1,0,1)=(1,0,1) vyhovuje.

Ostava ti dat podrobnu argumentaciu tohto vyberu.
Bolo dobre aj napisat maticu f ( v akych bazach je to trivialne?, a ako sa pise v kanonickych ( cize beznych) bazach oboch priestorov)

kaitlyn · 03. 06. 2014 22:13

Děkuji ti, ↑ vanok:!
Už jsem tomu asi přišla na kloub ;-)

Jestli jsem dobře počítala, tak mi vychází matice A (ze vztahu: f(x) = Ax):
$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Pak
$f(x) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_3 - x_2\\ 0\\ x_3 - x_2 \end{pmatrix}$ .

vanok · 03. 06. 2014 22:52 — Editoval vanok (04. 06. 2014 14:20)

↑ kaitlyn:,
Vidim ze si pochopila co som vysie pisal.
Je to jednoduche ale uzitocne vediet.
Bolo by uzitocne upresnit v akych bazach (v pociatocnom priestore a v priestore obrazu) je napisana tvoja matica a tiez ako by sa pisala v inych bazach.

kaitlyn · 04. 06. 2014 16:36

↑ vanok:

Děkuji za "nakopnutí" :)

Nevím, co přesně se po mně chce...

Mějme tedy obecně zobrazení $f: U \rightarrow V$ , pak báze $\text{Ker}f$ je z vektorového prostoru U a báze $\text{Im}f$ z vektorového prostoru V. Matice A, jestli jsem dobře pochopila, je napsána ve standardní bázi. Nebo ne?

vanok · 04. 06. 2014 16:56 — Editoval vanok (04. 06. 2014 17:10)

Tvoja veta o ker( f) a im(f) je spravna, i ked je lepsie povedat presnejsie pre bazu priestoru ker(f) miesto je z vektoroveho priestoru U, jej vektory z priestoru U.
Podobne pre bazu priestoru im(f).

Ak tvoja poznamka o matici A sa tyka #4, bol by som rad aby si zdvovodnila tvoje tvrdenie ( vzdy treba byt schopny odpovedat na otazku preco )

kaitlyn · 04. 06. 2014 17:25

$A = (f)_{\varepsilon\varepsilon} = (f(u_1)_{\varepsilon}, \dots, f(u_n)_{\varepsilon})$ , báze $\text{Ker}f$ a $\text{Im}f$ byly také standardní... ???

vanok · 04. 06. 2014 17:58

↑ kaitlyn:
Aky maju obraz vektory standardnej bazy? ( tu ich mas presne 3 a nie n)

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2014 23:00

Nalezení předpisu homomorfismu

#2 03. 06. 2014 04:28

Re: Nalezení předpisu homomorfismu

#3 03. 06. 2014 22:13

Re: Nalezení předpisu homomorfismu

#4 03. 06. 2014 22:52 — Editoval vanok (04. 06. 2014 14:20)

Re: Nalezení předpisu homomorfismu

#5 04. 06. 2014 16:36

Re: Nalezení předpisu homomorfismu

#6 04. 06. 2014 16:56 — Editoval vanok (04. 06. 2014 17:10)

Re: Nalezení předpisu homomorfismu

#7 04. 06. 2014 17:25

Re: Nalezení předpisu homomorfismu

#8 04. 06. 2014 17:58

Re: Nalezení předpisu homomorfismu