Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 05. 2009 17:23

DJmanasek
Zelenáč
Příspěvky: 1
Reputace:   
 

Integrály - odvození vzorce pro obsah koule

Ahoj lidi, mám takový problém, máme zadaný příklad, kdy máme pomocí grafu a integrálů odvodit vzorec pro objem koule tj. \frac{4}{3}\pi r^3

Offline

 

#2 11. 05. 2009 17:32 — Editoval ttopi (11. 05. 2009 17:33)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Integrály - odvození vzorce pro obsah koule

Já to teď na praxi odvodil podle Archimeda a moc se to líbilo :-)

Protože archimedes přišel na to, že když do plného válce vody o výšce 2r a poloměru podstavy r vložíme kouli o poloměru r, vyteče nám 2/3 obsahu vody a tedy, že poměr objemu koule ku objemu válci se rovná $2:3$. Pak tedy vemu vzorec pro objem tohoto válce, který je $V=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3$ a vynásobím ho $\frac23$ a dostávám objem koule $V=\frac43 \pi r^3$ :-))


oo^0 = 1

Offline

 

#3 11. 05. 2009 18:06

svatý halogan
Příspěvky: 243
Reputace:   
 

Re: Integrály - odvození vzorce pro obsah koule

Mějme rovnici kružnice:

$x^2 + y^2 = r^2$

Vyjádříme si y^2 jako $y^2 = r^2 - x^2$

A použijeme vzorec pro výpočet objemu obrazce, který rotujeme kolem osy x. Budeme integroval od nuly do r - tí získáme polokouli. Poté vynásobíme dvěma a máme hotovo.

$  V = 2\pi \int^r_0 r^2 - x^2 \, dx  $

Vyjde to pěkně (a správně :)

Offline

 

#4 11. 05. 2009 22:35

lukaszh
Místo: Bratislava
Příspěvky: 2314
Reputace:   37 
 

Re: Integrály - odvození vzorce pro obsah koule

↑ ttopi:
Tak toto som ešte nepočul, ale veľmi sa mi to páči :-D Ten Archimedes bol fakt hlavička, a my sa tu oháňame nejakým zložitým kalkulom ;-)


"The mathematical rules of the universe are visible to men in the form of beauty."
John Michel

Offline

 

#5 12. 05. 2009 06:58

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Integrály - odvození vzorce pro obsah koule

↑ lukaszh:
Mě se to také líbí. Obecně platí, že poměr válce:koule:kuželi je $3:2:1$ za předpokladu, že kužel i válec mají stejnou výšku a poloměr podstavy a koule má stejný poloměr jako podstava válce a výška všech 3 těles je 2r. Takže i pro kužel z toho odvodíš krásně vzorce :-)

To samé platí pro povrch, ale tam se to nedá ukázat s vodou, tam je to horší :-)

Vypadá to nějak takto http://mfweb.wz.cz/ulohy/images/67.gif


oo^0 = 1

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson