Matematické Fórum

lenisek · 24. 02. 2010 19:29

Dobrý den potřebovala bych pomoct s touto funkcí:
f(x) = (1/3)^x - 1

Mám určit definiční obor, průsečíky s osou x a y a nakreslit graf.
Myslím si, že def.obor je množina R čísel. Průsečík s osou y je [0,0] s osou x už nevím jaký je ten průsečík. Taky nevím jak mám nakreslit ten graf.

jelena · 24. 02. 2010 20:40

↑ lenisek:

Zdravím,

průsečíky:

s osou x - řešíme rovnici (1/3)^x - 1=0

s osou y - hledáme hodnotu y při dosazení za x=0 (1/3)^0 - 1=...

Bod (0, 0) je zároveň průsečík s osou x i s osou y.

Graf se nejlépe kreslí pomocí posunu os - zde jsou odkazy, jak se to dá provést. Kontrolovat svůj výsledek můžeš tady.

Stačí tak?

lenisek · 24. 02. 2010 20:50

Ano děkuji ten graf mi vyšel. Prochází bodem [0,0] a funkce je klesající.

lenisek · 24. 02. 2010 20:56

Dále mám určit:
proč je funkce prostá
jestli je sudá nebo lichá - Zdůvodnit
zjistit intervaly na kterých je funkce omezená shora/zdola
jestli má nějaké lokální extrémy

jelena · 24. 02. 2010 21:01

↑ lenisek:

a máš, prosím, nějaké studijní materiály, kde jsou definice pojmů? Například něco takového. (nebo jakou používate učebnici?). Případně sem umístí své návrhy (nebo který pojem děla problém?). Děkuji.

lenisek · 24. 02. 2010 21:07

Ano mám něco z internetu. tam je to obecně. Nevím jak to zdůvodnit na tento příklad.

jelena · 24. 02. 2010 21:44 — Editoval jelena (24. 02. 2010 22:09)

↑ lenisek:

Je třeba si vzit obecnou definici a použit na svou funkci - těžko to jde jinak. Například: prokázat, že je funkce prostá nebo http://jan.gfxs.cz/studium/files/funkce/funkce5.pdf

Ověřuji, že $x_1\neq x_2$ , pak $f(x_1)\neq f(x_1)$ platí pro každé x z def. oboru - skutčně platí.

Nebo obraceně z $f(x_1)=f(x_2)$ plyne $x_1=x_2$ :

$f(x_1) = $\frac13$^{x_1} - 1$
$f(x_2) = $\frac13$^{x_2} - 1$
$$\frac13$^{x_1}-1=$\frac13$^{x_2}-1$
$x_1=x_2$ stejné x jsou pouze pro stejné hodnoty funkce, jinak to neplatí. Proto závěr:

Prostá je, jelikož různým x z def. oboru přisluší ruzná f(x) z oboru hodnot.

--------------------------------------------------------

Sudá nebo lichá, nebo ani jedno - je třeba prokázat, zda platí $f(x)=f(-x)$ pro sudou nebo $f(-x)=-f(x)$ pro lichou, nebo nic z toho neplatí. Do předpisu funkce dosadíme (-x):

$f(-x) = $\frac13$^{-x} - 1$ z vlastnosti záporné mocniny provedeme takovou úpravu:

$f(-x) = 3^{x} - 1$ . Když porovnáme tento zápis s $f(x) = $\frac13$^{x} - 1$ ,

tak nevzniklo ani: $f(-x)=-f(x)$ to bychom měli: $$\frac13$^{-x}-1=-$\frac13$^{x}+1$ nemáme.
ani $f(x)=f(-x)$ , to bychom měli: $$\frac13$^{x} - 1=$\frac13$^{\boxed{-}x} - 1$ také nemáme.

Proto je závěr: funkce není ani sudá, ani lichá.

lenisek · 26. 02. 2010 07:44

Děkuji mnohokrát za pomoc!

jelena · 01. 03. 2010 21:16 — Editoval jelena (01. 03. 2010 21:19)

↑ lenisek: jelikož část funkce je vyřešena zde, tak sem umístím i pokračování.

lenisek napsal(a):
Dobrý den nevím si rady s těmito vlastnostmi funkce:
f(x) = (1/3)^x - 1

mám určit: intervaly monotónnosti
intervaly, na kterých je funkce konvexní/konkávní
inflexní body
lokální extrémy
jestli je asymptota svislá nebo vodorovná

lenisek napsal(a):
...mám v seznamu doplnit požadované hodnoty a vlastnosti této konkrétní funkce.

pak předpokládám, že můžete si nakreslit grafy elementárních funkcí pomocí posunu os - zde jen "posouváme osu y" o 1 dolu.

Grafy funkce f(x)=(1/3)^x aa posunuté funkce f(x)=(1/3)^x-1.

Z tohoto gráfu (a z vlastností exponenciální funkce) je zřejmé (viz defince zde):
a) funkce je na celém definičním oboru nebo na jeho časti rostoucí nebo klesající? - výber si - z toho plyne interval monotonnosti ,

b) pokud ke každému bodu funkce zakreslime tečnu - je pod nebo nad grafem (nebo pomocí sečny - je pod nebo nad grafem) - z toho plyne, zda je funkce konvexní nebo konkávní a na jakém intervalu,

c) existuje některá hodnota x, ve které se mění chování funkce dle bodu b) - pokud existuje, máme inflexní bod, jinak takový bod nemáme,

d) existuje některé x, pro které f(x) je menší, než ostatní hodnoty funkce "v okolí" (nebo větší, než ostatní hodnoty funkce) - pak máme lokální extrém minimum (maximum), pokud nic takového není - není extrém.

e) existuje svislá přímka, která "omezuje" béh funkce směrem po ose x (souvísí s omezením v definičním oboru) - pokud ano, máme svislou asymptotu. Existuje vodorovná přímka, která "omezuje" běh funkce směrem po ose y (souvisí s omezením v oboru hodnot) - pokud ano, máme vodorovnou asymptotu.

Samozřejmě, je to velmi zjednodušeno oproti definicím, ale zkus si to podle toho doplnit - určitě se to podaří. Případně to sem umístí pro kontrolu.

+ pekný soubor materiálů

lenisek · 03. 03. 2010 15:10

Promiňte já si myslela,že ty další vlastnosti jsou látka z vysoké školy. Děkuji za definice jsou dobře srozumitelné. Napíšu k čemu jsem se dopátrala.

lenisek · 05. 03. 2010 18:48

Dobrý den tak Vám píšu výsledky k čemu jsem se dobádala a prosím o kontrolu jestli to mám dobře.

Interval monotónnosti: (-nekonečno,+nekonečno) - klesající
Funkce je konklávní v intervalu (-nekonečno,0)
Funkce je konvexní v intervalu (0, +nekonečno)
Invlexní bod je [0,0]
Lokální extrémy - funkce nemá v žádném bodě ani maximum ani minimum
Funkce je spojitá
Asymptota vodorovná-ano, svislá-ne
Funkce není periodická
Inverzní funkce je logaritmická
Průsečíky s osou y= [0,0]
Průsečíky s osou x= neexistují nebo je to taky [0,0] ? toto si nejsem jistá?

Ještě nevím na kterých intervalech je funkce omezená shora nebo zdola?

jelena · 05. 03. 2010 19:08

↑ lenisek:

Zdravím a děkuji,

až na další připomínky je to v pořádku.

Toto není dobře (zkontroluj ještě jednou možnosti nakreslit tečny (nebo sečny) ke křívce na celém def. oboru - zda je nějaka změna po bodu [0,0])
Funkce je konklávní (toto slovo má jiný význam, "funkce je konkávní ") v intervalu (-nekonečno,0)
Funkce je konvexní v intervalu (0, +nekonečno)
Invlexní bod je [0,0]

------
Zde jen doplnit: inverzní funkce je logaritmická - asi je vhodné doplnit předpis.

"Průsečíky s osou x= neexistují nebo je to taky [0,0] toto si nejsem jistá" - bod [0,0] leží zároveň na ose x i na ose y.

"Ještě nevím na kterých intervalech je funkce omezená shora nebo zdola" - shora není omezená, kde je omezena zdola?

Děkuji za další doplnění.

lenisek · 05. 03. 2010 19:33

Já si myslím, že je funkce omezená zdola. Ještě to zkusím vypátrat!
Prosím Vás ten invlexní bod 0,0 mám správně?
Ještě si myslím, že funkce bude na celém definiční oboru konvexní! Je to správně? Vlastně v tomto případě by tam inflexní bod nebyl zřejmě. Vůbec nevím

jelena · 05. 03. 2010 19:36

↑ lenisek:

ve všem máš pravdu :-) omezená zdola (ale dopatrej dle definice), na celém Df je konvexní, inflexní bod nemá.

lenisek · 05. 03. 2010 19:56

Moc děkuji nejvíc mi pomohly Vaše definice, byly pro mě dost srozumitelné.
Tip: funkce je omezená zdola v intervalu (0,+nekonečno) nevím jestli je to správně?

jelena · 05. 03. 2010 20:11 — Editoval jelena (05. 03. 2010 20:11)

↑ lenisek:

:-) to nejsou definice, ale jen takový polopatický výklad definic a pomůcky.

tip není dobrý - takový tip by znamenal, že na intervalu (-oo, 0) není zdola omezena a klidně může pod "omezení" y=-1 (což samozřejmě nemůže a ani nechce), proto je omezena zdola na celém def. oboru - viz definice od opravdových autorit.

lenisek · 05. 03. 2010 20:37

Mě právě nejvíce pomáhá ten polopatický výklad.
Děkuji moc za to omezení už je mi to jasné.

lenisek · 08. 03. 2010 08:07

Dobrý den ještě jsem se chtěla zeptat, že k této funkci je funkce inverzní logaritmická. Prosím dá se nějak spočítat? Vůbec nevím jak?

gadgetka · 08. 03. 2010 09:07

Osamostatněním x z exponenciální rovnice. Po osamostatnění jen přepíšeš x za y a naopak a budeš mít předpis pro inverzní, logaritmickou fci.

lenisek · 08. 03. 2010 17:38

Předpis je x=(1/3)^y - 1
Tohle se dá nějak vypočítat? Prosím můžete mi to vypočítat?

zdenek1 · 08. 03. 2010 17:45

↑ lenisek:
$x+1=\left(\frac13\right)^y$
$y=\log_{\frac13}(x+1)$

lenisek · 08. 03. 2010 18:24

Děkuji moc jste mi pomohl-la. Já nevěděla jak se to převádí na ten logaritmus.

Matematické Fórum

#1 24. 02. 2010 19:29

Exponenciální funkce

#2 24. 02. 2010 20:40

Re: Exponenciální funkce

#3 24. 02. 2010 20:50

Re: Exponenciální funkce

#4 24. 02. 2010 20:56

Re: Exponenciální funkce

#5 24. 02. 2010 21:01

Re: Exponenciální funkce

#6 24. 02. 2010 21:07

Re: Exponenciální funkce

#7 24. 02. 2010 21:44 — Editoval jelena (24. 02. 2010 22:09)

Re: Exponenciální funkce

#8 26. 02. 2010 07:44

Re: Exponenciální funkce

#9 01. 03. 2010 21:16 — Editoval jelena (01. 03. 2010 21:19)

Re: Exponenciální funkce

lenisek napsal(a):

lenisek napsal(a):

#10 03. 03. 2010 15:10

Re: Exponenciální funkce

#11 05. 03. 2010 18:48

Re: Exponenciální funkce

#12 05. 03. 2010 19:08

Re: Exponenciální funkce

#13 05. 03. 2010 19:33

Re: Exponenciální funkce

#14 05. 03. 2010 19:36

Re: Exponenciální funkce

#15 05. 03. 2010 19:56

Re: Exponenciální funkce

#16 05. 03. 2010 20:11 — Editoval jelena (05. 03. 2010 20:11)

Re: Exponenciální funkce

#17 05. 03. 2010 20:37

Re: Exponenciální funkce

#18 08. 03. 2010 08:07

Re: Exponenciální funkce

#19 08. 03. 2010 09:07

Re: Exponenciální funkce

#20 08. 03. 2010 17:38

Re: Exponenciální funkce

#21 08. 03. 2010 17:45

Re: Exponenciální funkce

#22 08. 03. 2010 18:24

Re: Exponenciální funkce

Zápatí