Matematické Fórum

Marian · 26. 02. 2010 17:03 — Editoval Marian (26. 02. 2010 17:04)

Předpokládejme, že f je lichá funkce $f:\; [-1,1]\quad\mapsto\quad\mathbb{R}$ Riemannovsky integrovatelná. Dokažte, že potom platí

$\reverse{\Large\qquad\sum_{k=1}^{\infty}\quad\frac{\int_{0}^{\pi}f(\sin (x))\,\mathrm{d}x}{\qquad\qquad\int_{0}^{2k\pi}x^2\cdot f(\sin (x))\,\mathrm{d}x\qquad\qquad}=-\frac{1}{12}.\qquad}\nl$

Rumburak

Pěkná úloha !

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Marian · 04. 03. 2010 20:50

↑ Rumburak:

Fantastické!

Neměl jsem příliš času doplnit hint, ale vidím, že nebylo potřeba.

Navíc, zvolíme-li f(x)=sin(x), vypadjí integrály opravdu nehezky a úloha by byla asi ještě obtížnější, neboť by nebylo nutno v zadání "prozrazovat" podmínku o lichosti funkce f(x).

Rumburak · 05. 03. 2010 08:51

↑ Marian:
Když jsem si úlohu přečetl poprvé, připadalo mi, že jsem bez šance a ani jsem se o nic nepokoušel - nápad se dostavil až po několika dnech.
Podobným způsobem se mi to přihodilo již vícekrát.

Matematické Fórum

#1 26. 02. 2010 17:03 — Editoval Marian (26. 02. 2010 17:04)

Podivná nekonečná řada

#2 04. 03. 2010 17:27 — Editoval Rumburak (19. 01. 2018 13:36)

Re: Podivná nekonečná řada

#3 04. 03. 2010 20:50

Re: Podivná nekonečná řada

#4 05. 03. 2010 08:51

Re: Podivná nekonečná řada

Zápatí