Matematické Fórum

Nurder · 07. 03. 2010 16:17

Dobrý den, mám na Vás takovou prosbu. Musím vypočítat příklad, ale vůbec si s nim nevim rady, zde je zadání pak popíši co jsem s ním dělal.

Zadání: Vypočtěte objem kolmého hranolu, je-li délka výšky 12 cm a podstava je trojúhelník se stranami o délce 9 cm, 10cm, 11 cm.

Můj postup:

Postupoval jsem, tak že znám vzorec na objem kolmého hranolu to je V=P.v (v=výška). Plášť si vypočítám obsahem trojúhelníka to jest S=va.b/2 a nebo S=a.b/2.sinus gama.

Stýv · 07. 03. 2010 16:28

obsah podstavy (nikoli plášť) spočítej pomocí heronova vzorce

Nurder · 07. 03. 2010 16:32

To se omlouvám, myslel sem podstavu, ale nák sem si to neuvědomil, že píši plášť. Ale přece se ta podstava vypočítá jako obsah toho trojúhelníka. A zase se omlouvám, ale pojem honerův vzorec slyším po prvé :(....

gadgetka · 07. 03. 2010 16:46

http://cs.wikipedia.org/wiki/Heron%C5%AFv_vzorec

Nurder · 07. 03. 2010 16:53

Děkuju moc, ale mám trochu problém. Já sem se ještě neučil herenův vzorec a trochu by bylo divný kdybych ve škole použil zrovna toto. Nešlo by nějak jinak, ono můj učitel to dělá složitěji. Například přes tu výšku ....Nějak přece když si udělám výšku va tak tam bude nějak pravoúhlý trojúhelník horší je že nevím co pak stím. Nezlobte se a děkuju popřípadně za další dotazy

jelena · 08. 03. 2010 21:18

↑ Nurder:

Zdravím,

Heronův vzorec je opravdu nejlepší volba v případě zadání délek všech stran. Učitel se určitě zlobit nebude, když ten vzorec použiješ.

Můžeš volit i jiný způsob - do trojuhelníku zakreslit výšku, pata výšky rozděli stranu (například 11 cm) na čast x a na část (11-x). Sestavíš 2 Pythagorovy věty pro výšku a ze soustavy rovnic tuto výšku vypočteš.

Nebo můžeš použit kosinovu větu pro nalezení jednoho úhlu.

Ale všechno se mi zdá jako ztráta času oproti Heron. vzorci :-)

Chrpa · 08. 03. 2010 22:04 — Editoval Chrpa (03. 10. 2010 23:29)

↑ Nurder:
Pro výpočet výšky na stranu c = 11 cm použij:
1) $x^2+v^2=9^2$
2) $y^2+v^2=10^2$
3) $x+y=11$
Odečtením rovnice 1) od rovnice 2) dostaneš:
4) $y^2-x^2=19\nl(y+x)(y-x)=19$ za $y+x$ dosadíš rovnici 3) a dostaneš:
5) $11(y-x)=19\nl11y-11x=19$
Řešíš rovnice:
$-11x+11y=19\nlx+y=11\nly=\frac{70}{11}$
Máš:
$y^2+v^2=100\nlv^2=100-\left(\frac{70}{11}\right)^2\nlv^2=\frac{7200}{121}\nlv=\frac{60\cdot\sqrt 2}{11}$
$S=\frac{11v}{2}\nlS=\frac{11}{2}\cdot\frac{60\sqrt 2}{11}\nlS=30\sqrt 2$ - toto je obsah podstavy

PS: Přes Heronův vzorec je to asi tak třikrát rychlejší.
Edit:
Objem hranolu už dopočítáš jako:
$V=S_p\cdot v_h$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Druhý způsob přes kosinovou větu:
Platí:
$11^2=9^2+10^2-2\cdot 9\cdot 10\cdot\cos\,\gamma\nl\cos\,\gamma=\frac{81+100-121}{180}=\frac 13$
Určíme sinus gama
$\sin\,\gamma=\sqrt{1-\left(\frac 13\right)^2}\nl\sin\,\gamma=\frac{2\sqrt 2}{3}$
Obsah podstavy je:
$S=\frac{10\cdot 9\cdot\sin\,\gamma}{2}\nlS=\frac{180\sqrt2}{6}\nlS=30\sqrt 2$
PPS: Řekl bych, že přes kosinovou větu je to dvakrát jrychlejší.

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2010 16:17

Kolmý hranol

#2 07. 03. 2010 16:28

Re: Kolmý hranol

#3 07. 03. 2010 16:32

Re: Kolmý hranol

#4 07. 03. 2010 16:46

Re: Kolmý hranol

#5 07. 03. 2010 16:53

Re: Kolmý hranol

#6 08. 03. 2010 21:18

Re: Kolmý hranol

#7 08. 03. 2010 22:04 — Editoval Chrpa (03. 10. 2010 23:29)

Re: Kolmý hranol

Zápatí