Matematické Fórum

fine · 18. 02. 2010 22:50

V geometrické posloupnosti je a1 = -2 a kvocient q > 0.

Jak zjistím, že daná posloupnost obsahuje členy 16 a -2048

Mr.Pinker · 18. 02. 2010 23:12

vzorec pro n-tý člen máš
an=a1*q^n-1 když se na to koukneš na ten vzorec
tak zjitsíš že pro a1=-2 a q>0 není možné aby 16 bylo členem této posloupnosti
jelikož kladný číslo na cokoliv bude vždycky kladné a jelikož první člen posloupnosti je záporný
tak všechny členy posloupnbosti budou vždycky záporné protože mezi sebou budeš vždy násobit kladné
a záporné číslo

a to -2048 je různý podle přesný hodnoty q jelikož kdyby q=2 tak je ale jakmile q je například 3 tak to není členem

jelena · 21. 02. 2010 22:29

↑ Mr.Pinker:

Zdravím, nejsem si úplně jstá, zda rozumím vysvětlení.

geometrické posloupnosti je a1 = -2 a kvocient q > 0.

a) Ověřuji, zda 16 je členem poslopnosti: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

$16=-2\cdot q^{n-1}$

$-8=q^{n-1}$ nesplňuje podmínku, že q je kladné číslo, to se shodujeme.

b) Ověřuji, zda -2048 je členem poslopnosti: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

$-2048=-2\cdot q^{n-1}$

$1024=q^{n-1}$ zde lze najit různé mocniny 2, splňující podmínku, že q je kladné. Číslo -2048 může být členem posloupnosti,
další omezení ohledně q není (podmínka kladného q je splněna).

Je to tak? Děkuji.

Mr.Pinker · 21. 02. 2010 22:33

jo shodli sme se ale prakticky já sem jenom psal že aby tam číslo -2048 patřilo záleží na tom jaký bude q

jelena · 21. 02. 2010 22:41

↑ Mr.Pinker:

Děkuji.

Ano, pravda - tak, jak je položena otazka

fine napsal(a):
V geometrické posloupnosti je a1 = -2 a kvocient q > 0.

Jak zjistím, že daná posloupnost obsahuje členy 16 a -2048

lze pouze pro (16) udělat jednoznačný závěr. V případě -2048 skutečně platí, že může být členem posloupnosti, ale nemusí. Autor dotazu by se mohl také vyjádřit, zda jeho dotaz byl zodpovězen.

fine · 22. 02. 2010 06:49

Dobrý den,

jednalo se o testovou otázku, která zněla:

Geometrická posloupnost, pro kterou platí a1 = -2 a kvocient q > 0, může obsahovat členy

a) pouze kladné
b) pouze záporné
c) 16, -2048
d) -4, 1024

Vzhledem k tomu, že "c" by měla být správná odpověď, jsem vznezsl výše uvedený dotaz.

jelena · 22. 02. 2010 09:38

↑ fine:

Děkuji za doplnění, spiš bych zvolila možnost b) pouze záporné členy. Je to tak?

fine · 23. 02. 2010 07:54

Jako správná odpověď je ve výsledcích uvedena odpověď c)

Cheop · 23. 02. 2010 08:58 — Editoval Cheop (23. 02. 2010 09:23)

↑ fine:
Tak je to špatně, protože pokud je q > 0 pak členy posloupnosti mohou být:
-2, -2q, -2q^2, -2q^3, -2q^4 ........ -2q^(n-1) tzn., že členy posloupnosti budou vždy záporné

Edit
(q, q^2, q^3........q^n) > 0 - kladné
a_1 = -2 - záporné
Násobením kladného čísla se záporným dostaneme číslo záporné
Odpověď b) je správná.
Pokud by posloupnost byla zadána jako:
a_1 = 2 a q < 0
pak by byla správná odpovědˇ d)
Jen tak naokraj:
odpovědˇc) nebude správná nikdy.

fine · 13. 03. 2010 23:48

↑ Cheop: Moc děkuji za vysvětlení - už chápu, že takto zadaná posloupnost bude vždy záporná.

V dalším testu je otázka:
Geometrická posloupnost, pro kterou platí a1 = -0,5 a kvocient q < 0, může obsahovat členy

a) pouze kladné
b) pouze záporné
c) 1/16 a -1/2048
d) -1/4 a 1/1024

Jako správná odpověď je opět uvedeno c.

Podle výše uvedeného mi vychází, že a1 je záporné, a2 kladné, a3 záporné atd.

jelena · 14. 03. 2010 09:36

↑ fine:

a), b) vyločíme - při takovém zadání znaménka členů se střídají

c) ověřujeme:

$\frac{1}{16}=-\frac{1}{2}\cdot q^{s-1}$ , přičemž s musí být sudé,

$-\frac{1}{2048}=-\frac{1}{2}\cdot q^{l-1}$ , l-liché.

buď vyjádříme (-1/2) z každé rovnice a položíme rovnost levé a pravé strany nebo podělíme levé a pravé strany:

$\frac{1}{16}\cdot $-\frac{2048}{1}$=\frac{q^{s-1}}{q^{l-1}}$ ,

$-128=q^{s-l}$ , tato možnost nastává například pro q=-1/2 a s=4, l=11, ověřovaná dvojice může být členém posloupnosti

d) když jsem prováděla podobné ověření pro variantu d), došla jsem $-256=q^{s-l}$ a připouštím, že v tomto případě nesplním předpoklady, ale zde bych v celkovém tvrzení nebyla tak jistá, že nepatří (spiš mi to zní jako "snad nepatří"), možna někdo z kolegů doplní poznámku, aby to vyznělo "určitě nepatří" - zatím to nevidím.

Děkuji za spravedlivou kritiku.