Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Jarní limita (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
značí 
.#2 24. 03. 2010 11:08
Re: Jarní limita
![$[0,1]\times [0,1]$](/mathtex/e1/e1f9eb738d3696f1e49bcfcb736b4d24.gif "kopírovat do textarea")
ekvidistantně rozdělím na 
stejných částí. Výška jednoho hranolu odpovídá funkční hodnotě funkce 
v jednom z krajním bodů takto vzniklých ![$ \Large \lim_{n\to\infty}\quad\frac{1}{n^2}\cdot\sum_{p,q=1}^{n}\frac{\frac pn\,+\frac qn}{\left(\frac pn\right)^2+\left(\frac qn\right)^2}=\int_0^1\int_0^1\frac{x+y}{x^2+y^2}\,\text{d}x\,\text{d}y=\int_0^1\left(\int_0^1\frac{x+y}{x^2+y^2}\,\text{d}x\right)\text{d}y= \int_0^1\left(\int_0^1\left(\frac 12\,\frac{2x}{x^2+y^2}+\frac y{x^2+y^2}\right)\,\text{d}x\right)\text{d}y=\nl =\int_0^1\left(\left[\frac 12\,\ln(x^2+y^2)+\arctan\left(\frac xy\right)\right]_{x=0}^{x=1}\right)\text{d}y= \int_0^1\left(\frac 12\,\ln(1+y^2)+\arctan\left(\frac 1y\right)-\ln y\right)\text{d}y=\nl =\lim_{t\to 0^+}\int_t^1\left(\frac 12\,\ln(1+y^2)+\arctan\left(\frac 1y\right)-\ln y\right)\text{d}y=\nl =\lim_{t\to 0^+}\left[\frac 12\,y\ln(1+y^2)-y+\arctan y+y\arctan\frac 1y+\frac 12\,\ln(1+y^2)-y\ln y+y\right]_t^1=\nl =\lim_{t\to 0^+}\left(\frac 12\,\ln 2-1+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\frac 12\,\ln 2+1-\frac 12\,t\ln(1+t^2)+t-\arctan t-t\arctan\frac 1t-\frac 12\,\ln(1+t^2)+t\ln t-t\right)=\nl =\ln 2+\frac{\pi}{2}. $](/mathtex/c8/c8c42b3928d229d65aec5e93be799486.gif "kopírovat do textarea")
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#3 24. 03. 2010 14:26 — Editoval Marian (24. 03. 2010 14:31)
#4 24. 03. 2010 14:36
Re: Jarní limita
↑ Marian:
Stolzova věta mě taky napadla. Tu jsem měl v záloze, kdyby dvojný integrál vyhořel. :-)
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Jarní limita (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)