Matematické Fórum

Kuba.Lofi · 07. 04. 2010 18:45

A ještě dva vykouleny příklady: :-)

02. Po nakloněné rovině, která svírá s vodorovnou rovinou úhel (alfa), současně spustíme ze stejné výšky tři tělesa: kouli, rotační plný válec a rotační dutý tenkostěnný válec. Všechna tři tělesa mají stejnou hmotnost m a stejný poloměr r. Předpokládáme, že konají jen valivý pohyb ve směru spádnic nakloněné roviny. Rychlosti těles na začátku pohybu jsou nulové.
a) Určete poměr a1 : a2 : a3 velikostí zrychlení pohybu koule, válce a dutého válce.
b) Vypočítejte t1 , t2 , za které urazí dráhu s na nakloněné rovině od začátku pohybu válec a dutý válec, jestliže koule dráhu s urazila za čas t0. Řešte nejdříve obecně a potom pro hodnotu t0 = 2,00 s.
Sily tření při pohybu těles po nakloněné rovině vzhledem k ostatním silám zanedbejte.

03. Z nejvyššího bodu koule s poloměrem r klouže malé těleso po povrchu koule dolů.
a) V jaké hloubce h pod nejvyšším bodem se těleso oddělí od povrchu koule?
b) Určete rychlost v0 tělesa v místě jeho oddělení od kulové plochy, jestliže v nejvyšším bodě koule má nulovou rychlost.
Tření neuvažujte.

U prvního vím, že budou rozdílné momenty setrvačnosti, ale nevim jak to poskákat do vzorců.
U druhého též vím pryncip, na kuličku působí tíhová, odstředivá a třecí složka síly, stejný případ, nevím jak pak síly poskladat a dojít k výsledku.

zdenek1 · 07. 04. 2010 19:34

↑ Kuba.Lofi:
2) nejjednodušší je to přes energii. Potenciální se přemění na kinetickou
předvedu na válci:
$mgh=\frac12mv^2+\frac12J\omega^2$ , pro válec $J=\frac12mr^2$
Dále, když po nakloněné rovině urazí dráhu $s$ a nakloněná rovina svírá s vodorovným směrem úhel $\alpha$ , je výška $h=s\sin\alpha$
$mgh=\frac12mv^2+\frac12\frac12mr^2\omega^2$ , $r^2\omega^2=v^2$
$gs\sin\alpha=\frac34v^2$
$v^2=\frac43gs\sin\alpha$

Na těleso působí konstantní síla, takže zrychlení bude také konstantní. V tom případě platí
$2as=v^2$
$2as=\frac43gs\sin\alpha$
$a=\frac23g\sin\alpha$

Zbylé dva úpně stejně, jen jiné $J$

Kuba.Lofi · 07. 04. 2010 20:11

↑ zdenek1:díky díky :) je to tak logické, díky - a s tou trojkou ?

zdenek1 · 07. 04. 2010 20:11

↑ Kuba.Lofi:

Aby se těleso udrželo na kouli, musí být $G\cos\alpha\geq F_d$ (dostředivá síla)
oddélí se v okamžiku, kdy platí rovnost
$mg\cos\alpha=m\frac{v^2}r$

rychlost ze ZZE
$mgr(1-\cos\alpha)=\frac12mv^2$
$v^2=2gr(1-\cos\alpha)$
dosazením
$mg\cos\alpha=m\frac{2gr(1-\cos\alpha)}r$
$\cos\alpha=2-2\cos\alpha$
$\cos\alpha=\frac23$
$h=r(1-\frac23)=\frac r3$
$v_0=\sqrt{2gr(1-\cos\alpha)}=\sqrt{\frac23gr}$