Matematické Fórum

nordec · 29. 04. 2010 00:03

Prosím o radu, jak na tento příklad:
Zjistěte, pro která $a \in R$ konverguje integrál

$\int_0^1\frac{|logx|^a}{\sqrt{1-x^4}} dx$

Vím, že funkce je neohraničená v bodech 0 a 1, proto bude potřeba spočítat limitu x jdoucí k 0 zprava a limitu x jdoucí k 1 zleva ze zadaného integrálu. Pokud jsou obě limity vlastní, integrál konverguje. Jak ale zjistit, pro která $a$ ?

Předem děkuji.

Rumburak

Začnu poznámkou:
Když je funkce v každém okolí některého krajního bodu neomezená, nemůže v něm mít vtastní limitu, přesto ale integrál může konvergovat.

Nyní k vlastnímu řešení úlohy.

Označme $f$ integrovanou funkci a uvažujme $u,\,v \, \in \,\mathb R$ , $0\,<\,u\,<\,v\, <\,1$ . Funkce $f$ je nezáporná a proto zkoumaný integrál
bude mít nezápronou hodnotu, tedy buďto konečné nezáporné číslo nebo $+\infty$ .

I. Funkce $f$ je pro každé $a \, \in \,\mathb R$ spojitá na uzavřeném intervalu [u, v] , proto není problém s konvergencí integrálu $\int_u^v\frac{|\ln\,x|^a}{\sqrt{1-x^4}}\, \text{d} x$ .

II. Vyšetřujme konvergenci integrálu
(1) $\int_v^1\frac{|\ln\,x|^a}{\sqrt{1-x^4}}\, \text{d} x$ .

a) V blízkosti bodu x = 1 se funkce y = ln x asymptoticky blíží k funkcí y = x - 1 .
Geometricky řečeno : křivka o rovnici y = ln x se přimyká ke své tečně v bodě [1, 0] .

Řečeno ještě jinak: existuje funkce g spojitá v okolí bodu 1 a splňující podmínky g(1) = 1 , $\ln \,x \,=\, (x-1)g(x)$ .

b) Podobně: odmocňovaný polynom ve jmenovateli lze psát ve tvaru $1-x^4 \,=\,4(1-x)h(x)$ , kde funkce h je spojitá v okolí bodu 1
a splňuje dále h(1) = 1 (zde to plyne z rozkladu toho polynomu).

Celkem: číslo $v \,<\, 1$ lze volit tak, aby platilo $\int_v^1\frac{|\ln\,x|^a}{\sqrt{1-x^4}} \,\text{d} x\, =\,\int_v^1\frac{|(x-1)g(x)|^a}{\sqrt{4(1-x)h(x)}}\, \text{d} x= \frac{1}{2}\int_v^1(1-x)^{a-\frac{1}{2}} \,G(x)\, \text{d} x$ ,
kde funkce G je spojitá, kladná a omezená na intervalu [v, 1] (a dokonce splňuje G(1) = 1, to ale už nebudeme potřebovat) .
Funkce G s uvedenými vlastnostmi nemá na konvergenci integrálu (1) vliv (může obecně ovlivnit jeho číselnou hodnotu, avšak
ne samu skutečnost, zda tato hodnota je konečná nebo nekonečná), takže integrál (1) konverguje společně s integrálem
$\int_v^1(1-x)^{a-\frac{1}{2}}\, \text{d} x$ a ten už dokážeme snadno vypočítat, z výsledku integrace pak odvodíme podmínku pro konvergenci :

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

.

III. Vyšetřujme konvergenci integrálu
(2) $\int_0^u\frac{|\ln\,x|^a}{\sqrt{1-x^4}} \,\text{d} x$ .

Zde jmenovatel konvergenci integrálu (2) neovlivní a proto ho při úvahách o této konvergenci opět můžeme pominout
(obdobně jako jsme učinili v předchozím kroku s funkcí G). V dalším se tedy zabývejme integrálem
(3) $I(a) \,:=\int_0^u|\ln\,x|^a \text{d} x = \int_0^u(-\ln\,x)^a \text{d} x$ ,

kde z důvodů, které vysvitnou za okamžik, volíme $u \,=\,{\text{e}}^{\,-1}$ .

Je zřejmé, že integrál (3) bude konvergovat pro $a \,\le \,0$ , protože integrand pak bude omezený na integračním oboru.
Dále je zřejmé, že je-li $a\, <\, b$ a konverguje-li $I(b)$ , pak konverguje též (3) . Zde jsme využili volbu $u \,=\,{\text{e}}^{\,-1}$ :
pro $0\,<\,x\, <\, u$ je $- \ln \,x \,>\, 1$ , takže potom $(-\ln\,x)^a \,<\, (-\ln\,x)^b$ , odtud $I(a) \,<\, I(b)$ .

Substitucí $- \ln \,x \,=\, y$ v (3) a následným použítím metody per partes odvodíme identitu $I(a)\, =\, u \,+\, a I(a-1)$ ,
z níž vplývá , že konverguje-li integrál $I(a-1)$ , konverguje též $I(a)$ . Z tohoto a z výsledku uvedeného o odstavec výše plyne,
že (3) konverguje pro každé reálné $a$ .

ZÁVĚR:
Původní integrál konverguje tehdy a jen tehdy, konveguje-li integrál (1) , při čemž konvergence (1) je vyřešena v bodě II.

PS. Musel jsem ještě opravit několik překlepů - snad je to už vše.

nordec · 01. 05. 2010 15:48

Moc děkuji za tak obsáhlý postup řešení těžkého příkladu.

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2010 00:03

Konvergence integrálu

#2 30. 04. 2010 09:49 — Editoval Rumburak (10. 06. 2010 13:46)

Re: Konvergence integrálu

#3 01. 05. 2010 15:48

Re: Konvergence integrálu

Zápatí