Matematické Fórum

Wemeno · 20. 04. 2010 15:46

Na pružinu zavěsíme závaží o hmotnosti 100g a ta se prodlouží o 9,81 mm. Závaží rozkmitáme. Urči s jakou frekvencí bude závaží kmitat. Graficky znázorni závislost frekvence na hmotnosti závaží.
Díky moc z fyzikou se nekamarádim už jsem v koncích.

Rumburak · 20. 04. 2010 17:01 — Editoval jelena (12. 01. 2014 20:09)

Připadá mi, že měla být ještě zadána původní délka pružiny $l_0$ (při nulovém zatížení).

Předpokládejme, že hmotnost závaží plynule zvětšujeme od 0 na hodnotu m = 0,1 kg a že v tomto rozsahu se pružina
prodlužuje lineárně se zatížením, tedy podle rovnice (analogicky s Hookovým zákonem) $\frac {\d \lambda}{l_0} = \frac {1}{K}g \d m$ ,
kde konstanta K představuje tuhost spirály, $m$ je proměnná hmostnost a $\lambda =\lambda{(m)}=l(m)-l_0$ , $l(m)$ je délka pružiny při zátěži $m$ .
Integrací dostáváme $\frac {l(m) -l_0}{l_0} = \frac {1}{K}g m$ , odtud $K = \frac{gml_0}{l(m) -l_0} = \frac{9,81\cdot m\cdot l_0}{9,81\cdot 10^{-3}}=\frac{m\cdot l_0}{10^{-3}}= 1000ml_0$
(pokud jsem se někde nesekl).

Pro frekvenci kmitavého pohybu pak platí známý vzorec $f=\frac {1}{2\pi}\sqrt{\frac{K}{m}}$ , který se odvodí řešením příslušné pohybové rovnice.

Jelena: oprava zápisu v TeX, dejte, prosím, tlačítkem Nahlásit vědět, pokud něco není OK. Děkuji.

Wemeno · 20. 04. 2010 17:26

nešlo by to pls nějak přiblížit jsem z toho úplně mimo
Díky moc

medvidek

↑ Rumburak:
$K$ - konstanta pružnosti nebo tuhost pružiny by měla mít rozměr $\frac{N}{m}$ . Pak sedí rozměrově i výsledek.
Navíc se ukáže, že na délce $l_0$ (v případě lineární závislosti výchylky na síle) nezáleží.

EDIT: viz např. zde http://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law

Wemeno · 20. 04. 2010 23:20

A nechtělo by se někomu mi to vypočítat? budu moooc vděčný

medvidek · 21. 04. 2010 05:16

↑ Wemeno:
Obávám se, že jednodušeji než ↑ Rumburak: to nenapíšu :-)

Hookeův zákon popisuje pružnou deformaci materiálu působením síly. Lze jej formulovat např. větou: "Deformace je úměrná napětí materiálu". Pokud platí přímá úměrnost, bude
$F=-kx$ (1)
kde $x$ je výchylka tělesa z rovnovážné polohy na pružině, $F$ je síla - reakce pružiny na deformaci o výchylce $x$ a $k$ je konstanta úměrnosti (konstanta pružnosti, pružinová konstanta, popř. tuhost pružiny). Reakce pružiny působí vždy proti výchylce, což je vyjádřeno záporným znaménkem (pak máme kladné $k$ ).

Tuhost pružiny umíme zjistit, protože víme, o kolik se pružina prodlouží při pověšení závaží: $k=\frac{0,1kg 9,81\frac{m}{s^2}}{0,00981m}=100 \ \frac{N}{m}$

Nyní si uvědomíme, že závaží kmitá ve svislé ose, a že při rovnovážné poloze (která i nyní představuje nulovou výchylku) je pružina poněkud natažená. Toto "přídavné" natažení kompenzuje gravitaci, jinak je vše téměř stejné. Místo vztahu (1) platí obdobný vztah
$\overline{F}=-ky$ (2)
kde $\overline{F}$ je síla vracející závaží do rovnovážné polohy. Tato síla uděluje závaží $m$ zrychlení $a$ ve svislém směru.
$\overline{F}=ma$ neboli $\overline{F}=m\frac{d^2y}{dt^2}$
Po dosazení do (2) dostaneme diferenciální rovnici $\frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{k}{m}y$ , jejímž řešením jsou harmonické kmity $y(t)=A \sin(\omega t + \phi)$ , kde $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ .
Na určení amplitudy $A$ a fáze $\phi$ bychom museli znát počáteční podmínky.
Pokud budeme studovat průběh funkce $y(t)$ , zjistíme, že je periodická s periodou $T=\frac{2\pi}{\omega}$ . Z toho dostaneme frakvenci
$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{100Nm^{-1}}{0,1kg}}=5,03 Hz$ .

Wemeno · 21. 04. 2010 09:31

moc Vám všem děkuji jste strašně ochotní, ale mohli byste mi prosím napsat přímo ten příklad abych mohl hned použít a nemusel s ním už nic dělat?
Děkuji moc

jelena · 21. 04. 2010 13:33

↑ Wemeno:

Zdravím,

možna by bylo vhodné kolegům sdělit, na kterém stupni vzdělavácího systému jsi toto zadání dostal a jak chceš "tento příklad hned použit".

Přidám barevné obrázky a graf závislostifrekvence na hmotnosti závaží (bereme pouze tu část grafu, kde m je kladné). Použila jsem vzorec odvozený u kolegů, děkuji.

LukasM · 21. 04. 2010 13:37

↑ Wemeno:
A tím "použít příklad" předpokládám myslíš odevzdat ho a mít od něj pokoj, že ano? Obávám se, že kdokoli ti ten příklad zadal to udělal proto, abys pochopil o co jde, a já osobně nevím proč bych mu to měl sabotovat.

Každopádně nahoře už máš od dvou kolegů CELÝ postup, a že to někdo bude chtít rozepisovat víc než medvidek, to se mi moc nezdá. Takže být tebou, spíš bych se ptal co na tom není jasné, než abych z někoho dalšího páčil znovu to samé.

Rumburak

↑ medvidek:
Díky za tu poznámku o konstantě K - že jsem ji zavedl chybným způsobem, si teď uvědomuji.

Wemeno · 30. 04. 2010 17:00

↑ LukasM:
Třeba proto, že mi je fyzika úplně k hovnu a totálně jí nechápu

Wemeno · 30. 04. 2010 22:16

Mohli by mi prosím ještě někdo pomoci s tím, jak z toho vygeneruju graf? (v excelu) díky

jelena · 01. 05. 2010 09:20 — Editoval jelena (01. 05. 2010 09:22)

↑ Wemeno:

Nevím, co znamená "vygenerovat graf" v EXCELu (zřejmě nemám tak bohatou slovní zásobu).

Vytvořit graf v EXCELu pujde tak, že připravím si data - v prvním slopci tabulky zadam hodnoty promenné m (hmotnosti) v nějakém rozumném rozsahu (třeba od 10 do 500 g) s krokem 10 g (přepočteno do kg dle SI). V dalším sloupci použiji vzorec pro výpočet od kolegy ↑ medvidek: i včetně dosazeného parametru pružiny $f=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{100}{m}}=\frac{5}{ \pi}\sqrt{\frac{1}{m}}$ . Pak už pokračuji podle "Vytvořit graf" a zvolím typ grafu XY.

Stačí tak?

Dotaz na typ školy měl tento smysl - pokud je to SŠ, tak se jen doporučí závěrečný vzorec bez odvození.

EDIT: doplněno SI.

Matematické Fórum

#1 20. 04. 2010 15:46

Pružina a kmitání

#2 20. 04. 2010 17:01 — Editoval jelena (12. 01. 2014 20:09)

Re: Pružina a kmitání

#3 20. 04. 2010 17:26

Re: Pružina a kmitání

#4 20. 04. 2010 21:42 — Editoval medvidek (20. 04. 2010 21:43)

Re: Pružina a kmitání

#5 20. 04. 2010 23:20

Re: Pružina a kmitání

#6 21. 04. 2010 05:16

Re: Pružina a kmitání

#7 21. 04. 2010 09:31

Re: Pružina a kmitání

#8 21. 04. 2010 13:33

Re: Pružina a kmitání

#9 21. 04. 2010 13:37

Re: Pružina a kmitání

#10 22. 04. 2010 09:08 — Editoval Rumburak (22. 04. 2010 09:36)

Re: Pružina a kmitání

#11 30. 04. 2010 17:00

Re: Pružina a kmitání

#12 30. 04. 2010 22:16

Re: Pružina a kmitání

#13 01. 05. 2010 09:20 — Editoval jelena (01. 05. 2010 09:22)

Re: Pružina a kmitání

Zápatí