Matematické Fórum

Saturday

Spočítejte limitu:

$\lim \limits_{n \to \infty} n\cdot x\cdot (1-x)^n$ pro $x \in [0,1]$

Zkoušel jsem to převést na limitu typu nula/nulou

$x \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(1-x)^n}{\frac{1}{n}}$

ale nyní jsem narazil, protože l'Hospital nejde, leda jsem přemýšlel o porovnání jmenovatele a čitatele..

(alpha znaci 1-x)

$\exists n_0 \forall n>n_0$ platí: $\alpha ^n<\frac{1}{n}$

pak by byla limita rovna nule.

Díky za pomoc

robert.marik · 24. 03. 2008 01:17

a co l'Hospitalovo pravidlo na $\lim \frac{n}{(1-x)^{-n}}$ ?

Marian · 24. 03. 2008 07:33 — Editoval Marian (24. 03. 2008 10:23)

Chtel bych upozornit na to, ze i kdyz se pocita limita vyhledem k n, nemusi mit vytknuti nezavisle promenne x vzdy smysl. Ukazu priklad. Necht pro x€[0,1] je dana posloupnost funkci {f_n(x)}_n, kde

f_n(x) := n*x,

pro vsechna prirozena cisla n. Pak {f_n(0)}_n = {0}_n a plati lim f_n(0)=0 pro n jdouci do +oo. Pokud ale provedeme nejprve upravu vytknutim, je (nekorektne)

lim f_n(x) =' lim n*x =' x*lim n.

Ale pro x=0 nemuze byt tato uprava korektni, protoze dostavame formalni vyraz 0*(+oo). Takze jsem zvolil radeji jiny znak nez rovnitko. Proto pokud si nejsi jisty, nevytykej.

No a ted ke tve posloupnosti funkci. Je dana posloupnost funkci {g_n(x)}_n, pro vsechna cisla x z intervalu [0,1]. Je videt, ze {g_n(0)}_n = {g_n(1)}_n = {0}_n. Odtud

lim g_n(x) = 0, x = 0 nebo x = 1.

Dale budeme provadet jiz uvahu na intervalu otevrenem, tj. (0,1). Pro vsechna cisla x€(0,1) plati nerovnosti 0 < 1-x < 1. Z toho plyne existence realnych cisel p a q, p<q, takovych, ze 0<p<1, 0<q<1, p<1-x<q. To implikuje

0 < n*x*p^n < n*x*(1-x)^n < n*x*q^n.

Protoze pro kazde komplexni cislo z, |z|<1 plati vztah lim n*z^n = 0, z predchoziho limitnim prechodem dostavas (neostrou nerovnost znacim tildou ~)

0 <~ lim n*x*p^n <~ lim n*x*(1-x)^n <~ lim n*x*q^n <~ lim n*q^n = 0.

Odtud je jiste videt, ze pro 0<x<1 plati

lim n*x*(1-x)^n = 0.

To plati ale i pro krajni body intervalu (0,1). Takze celkem - pro vsechna x z intervalu [0,1] plati

lim n*x*(1-x)^n = 0.

___________________________________________________
Priste zkus jeste zapsat zavorky pro uzavreny interval standardnim zpusobem, tj. nikoliv pomoci znaku >, < (t. vetsi mensi). Podrobnosti najdes v LaTeXovskem piskovisti zdejsiho fora, pokud nechces hledat, zde je kod pro tyto zavorky

Code:

\langle a,b\rangle

Oba dva prikazy funguji s variantou \left a \right. Nebo pouzij misto techto zavorek nahradu (velice casto pouzivanou) <a,b>=[a,b]. Take bych doporucil pouzivat v TeXu znak pro nasobeni (prikaz \cdot) misto symbolu *, kt. se da akceptovat tady na foru asi vsude, jen ne v TeXu jako operator multiplikace. Pak to vypada s temi hvezdickami jako pred Vanocemi, cemuz by sice pocasi napovidalo, protoze snehu je tam relativne dost, ale nevypada to nejlepe.

Saturday · 24. 03. 2008 11:01

↑ robert.marik:

Ano, to vypadá, že opravdu jde, děkuju

$\forall x \in (0,1): \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n}{(1-x)^{-n}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{-(1-x)^{-n}\cdot\log{(1-x)}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{-(1-x)^{n}}{\log{(1-x)}} = 0$

@Marian:

Se znalostí, že platí lim n*z^n = 0 je to to hned jednoduché, ale já tuhle limitu nikde nemohu najít (koukal jsem do Bartsche a do Jarníka), nevíš o nějaké stránce, kde by byl souhrn limit, které platí?

> Proto pokud si nejsi jisty, nevytykej.

prosel jsem si v hlave moznosti, nez jsem to vytknul, nicmene diky za protipriklad

Pokud jde o TeX, tak jsem se ho neučil systematicky, ale jen to, co jsem potřeboval pro potřeby na tomto foru, takže je možné, že dělám spoustu dalších chyb. Díky za upozornění, budu to už psát správně (upravil jsem to i v původním příspěvu)

Marian · 24. 03. 2008 11:11 — Editoval Marian (24. 03. 2008 11:15)

↑ Saturday:

Bartsche sice doma mam, ale nepouzivam jej rad (desna sazba, chyby). Tu limitu tam najdes. Mam treti revidovane vydani z roku 2002. Je to v kapitole pate, Diferencialni pocet, sekce 5.1 Limity, podsekce 5.1.1 Limity posloupnosti, s. 485, paty radek od spoda. Vypada to takhle:

$\lim_{n\to\infty}\left (n^{\alpha}x^n\right )=0,\qquad |x|<1,\quad\alpha\in\mathbb{R}.$

Jinak to muzes najit spise v knize od Rektoryse Prehled uzite matematiky, ktera se da dokonce stahnout z internetu ve formatu DJVU.

Saturday · 24. 03. 2008 12:19

Uz jsem ji nasel, diky moc :-)

Skoda jen, ze u toho Rektoryse neni mozne vyhledavani. Zkusim se poohlednout po nejake tistene verzi.

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2008 23:50 — Editoval Saturday (24. 03. 2008 11:01)

Limita - nekonecno * nula

#2 24. 03. 2008 01:17

Re: Limita - nekonecno * nula

#3 24. 03. 2008 07:33 — Editoval Marian (24. 03. 2008 10:23)

Re: Limita - nekonecno * nula

Code:

#4 24. 03. 2008 11:01

Re: Limita - nekonecno * nula

#5 24. 03. 2008 11:11 — Editoval Marian (24. 03. 2008 11:15)

Re: Limita - nekonecno * nula

#6 24. 03. 2008 12:19

Re: Limita - nekonecno * nula

Zápatí