Matematické Fórum

tangos · 08. 06. 2010 01:08

Dobrý den!
Mám takový příklad z příjmáček na Vysokou školu. Chtěl bych od Vás pomoct z jednoho příkladu. Vysvětlete mi prosím konkrétně a nejlepsší kdyby k tomu ještě nějaká teorie. Děkuju předem!

Př.
Zvětší-li se počet prvků o jeden, zvětší se počet variací třetí třídy bez opakování z těchto prvků o 168. Určete počet prvků.

teolog

↑ tangos:

Tak základem pro výpočet je vzorec pro variaci bez opakování.
$V_k(n)=\frac{n!}{(n-k)!}$

Náš příklad je variací třetí třídy z n prvků. Tedy:
$V_3(n)=\frac{n!}{(n-3)!}$

A pokud zvětšíme počet prvků o jeden, tak počet variací má podle vzorce podobu:
$V_3(n+1)=\frac{(n+1)!}{(n-2)!}$

A navíc víme, že původní počet prvků se zvětší o 168, takže můžeme psát rovnici:
$\frac{n!}{(n-3)!}+168=\frac{(n+1)!}{(n-2)!}$

A nyní už stačí tuto rovnici vyřešit.
$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3!)}+168=\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)!}{(n-2!)}$

$n(n-1)(n-2)+168=(n+1)n(n-1)$

$n^3-3n^2+2n+168=n^3-n$

$n^2-n-56=0$

$(n-8)(n+7)=0$

Protože $n>0$ , je řešením $n=8$

Dobrou noc.