Matematické Fórum

ondrej.hav · 15. 06. 2010 17:55

Pěkné odpoledne, ty řady mě jednou zničí... Mám tady mocninnou řadu a potřebuju si ověřit svoje úvahy. Mám například řadu $\sum\frac{(x+1)^n}{2^n n}$
Určím střed tj $x_0=-1$
Pak si určím poloměr jako $\lim_{n\rightarrow \infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{1}{2^n n}\right|}}$ a vyjde mi 2. Tudíž interval konvergence $J_k=(-3;1)$
Předpokládám, že tohle určení je jakási výhoda u mocninných řad. Ale stejně bych to spočetl třeba přes Cauchyho kritérium. Doufám... hlavně je nějak podezřele podobný :-) A když chci určit
Obor konvergence tak ten bude vždy shodný s $J_k$ . Ažna krajní body. Předpokládám, že $J_k$ je vždy otevřený interval a $K$ může být nejvýše rozšíření $J_k$ o krajní body?

Tudíž zkusím dosadit $x=-3$ dostanu $\sum{\frac{(-1)^n}{n}}$ a ta podle Leibnitzova kritéria KONVERGUJE
pak zkusím dosadit $x=1$ a dostanu $\sum{\frac{1}{n}}$ tato řada (snad to nemusím ověrovat??) DIVERGUJE

Takže $K=<-3;1)$

A ted si nejsem jistej jak je to s ABSOLUTNÍ konvergencí. Jelikož jsem na začátku použil to s tou odmocninou a absolutní hodnotou, řekl bych, že sem tím jakoby ověřil absolutní konvergenci... Tudíž bude (automaticky?????) $J_k = K_a$

Olin · 15. 06. 2010 18:35

Každá mocninná řada (tedy řada tvaru $\textstyle \sum_{n=0}^{\infty} \, a_n (x-x_0)^n$ ) má určitý "kruh konvergence" - tj. interval $(x_0 - \rho,\, x_0 + \rho)$ , kde $x_0$ je střed řady a $\rho$ poloměr konvergence - na kterém konverguje absolutně. Je to vždy buď otevřený interval, nebo celé $\mathbb{R}$ , nebo pouze jednoprvková množina $\{x_0\}$ . Pro $x > x_0 + \rho$ a $x < x_0 - \rho$ pak řada diverguje. Toto se dokazuje velmi jednoduše pomocí Cauchyho odmocninového kritéria, proto ta podobnost ve výpočtu.

O konvergenci v bodech $x_0 + \rho$ a $x_0 - \rho$ obecně nevíme nic, a tak se vyšetřují zvlášť. V podstatě jsou tyto čtyři možnosti:
1) v obou bodech řada konverguje absolutně
2) v obou konverguje neabsolutně
3) v jednom z bodů řada konverguje neabsolutně, v druhém diverguje
4) v obou diverguje.

Ve výše uvedené řadě máme podle této teorie už zaručeno, že na intervalu $(-3;\, 1)$ konverguje absolutně. V jedničce řada diverguje, v -3 konverguje, ale pouze neabsolutně, protože $\|\frac{(-1)^n}{n}\| = \frac 1n$ , což nám dá divergentní řadu.

ondrej.hav · 15. 06. 2010 20:00

↑ Olin:Dííííky moooc

ondrej.hav · 15. 06. 2010 20:20

↑ ondrej.hav:Jen se ještě zeptám, to že můžpou nastat jenom ty 4 možnosti se dá nějak dokázat? Nebo odvodit (logicky) ??? Proč se nemůže stát, že by v jednom bodě konvergovala absolutne a v druhem neabsolutne???

Olin · 15. 06. 2010 20:28

Dá se to dokázat poměrně snadno. Pro $x = x_0 + \rho$ totiž máme řadu

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \rho^n$

a pro $x = x_0 - \rho$ to je

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (-\rho)^n$ .

Jestliže absolutně konverguje jedna z řad, pak absolutně konverguje i ta druhá, jelikož $|a_n(-\rho)^n| = |a_n(-1)^n\rho^n| = |a_n \rho^n|$ .

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2010 17:55

Mocninná řada

#2 15. 06. 2010 18:35

Re: Mocninná řada

#3 15. 06. 2010 20:00

Re: Mocninná řada

#4 15. 06. 2010 20:20

Re: Mocninná řada

#5 15. 06. 2010 20:28

Re: Mocninná řada

Zápatí