Matematické Fórum

Lucker · 31. 03. 2008 21:15

dobry den chtel bych se zeptat jestli nekdo bude tak hodny a pomuzeme mi s problemem....je to dulezite a byl bych rad kdyby jste se na to podivali co nejdrive:) zitra to uz musim mit...takze mam vysvetlit jestli je z hlediska prace lepsi sane tahnout nb tlacit a vysvetlit proc a nejaky obrazek??vubec si s tim nevim rady moc Vam dekuji dopredu Nashledanou

Ivana · 31. 03. 2008 21:49

↑ Lucker: Co je lepší tlačit sáně nebo táhnout sáně za sebou?
Při roztlačení saní potřebujeme větší sílu , než při rovnoměrném tlačení poté, co se saně pohnou. Statické tření je větší než dynamické .
Při rovnoměrném posouvání musíme působit určitou silou , která je menší než je síla při roztlačování saní . Práci vypočteme vynásobením dráhy a velikostí síly , kterou na saně působíme . Pokud zanedbáme tření bude práce stejná ve fyzikálním smyslu . Nebereme práci jako fyzickou námahu svalů .

Lucker · 31. 03. 2008 21:54

dekuju moc a kdyby to bylo mysleno jako pri cem se vice nadrema ci pri cem vynalozime mensi fyzicko upraci tak by to bylo u ceho a jak??a prosivas kdyz mam udelat ten obrazek co by asi na nem melo zhruba byt??

jelena · 31. 03. 2008 21:58

↑ Lucker:

http://snz.ahaha.ru/R1/196.jpg neco v tom duchu - http://www.iro.yar.ru:8100/resource/dis … pic002.bmp u sil je potreba dokreslit tihu, odpor podlozky, treni a rozklad sily F na vodorovnou a svislou slozku.

jelena · 31. 03. 2008 22:00

↑ Ivana:

Ivano, zdravim, hezky vecer :-)

cos alfa nema vyznam resit? - kdyz tlaceni, tak uhel nulovy, cos 1,
tah za provaz - cos mensi nez 1 - mensi prace?

Lucker · 31. 03. 2008 22:04

Ano dekuji moc za radu i obrazky a jeste se chci zeptat jak by vypadlo to tlaceni s rozkladem sil a pusobenim sil??

Ivana · 31. 03. 2008 22:11

↑ jelena:Také zdravím , je to přibližně to samé ?

Lucker · 31. 03. 2008 22:18

Ano dekuji Vam moc:) a obrazek se povedl:) Nashledanou

jelena · 31. 03. 2008 22:22

↑ Ivana:

Ja bych se vice zamerila na ten uhel - myslim, ze je to ze vzorce prace patrne, ze ma vliv

Lucker · 31. 03. 2008 22:35

Ale ted mi doslo ze kdyz je tam brzdici sila tak to berete jako ze tlaci do kopce...Ale ja zapomnel napsat ze je to na rovine a v absolutnim klidu.Meni se na tom neco?

Ivana · 31. 03. 2008 22:53

↑ Lucker:↑ jelena:
$W=Fscos\alpha$ , jestliže síla působí na těleso šikmo je práce menší . Doufám , že je to z obrázků vidět .

jelena · 31. 03. 2008 23:01

↑ Ivana:

Myslim, ze ano - je to videt - kolega urcite rozklad dokresli :-)

jelena · 01. 04. 2008 12:49

↑ jelena:

Neco se mi na te moji uvaze nezda :-( vzorecek je v poradku, ale nejak vaham nad tou fyzikalni podstatou problemu :-(

Ivana · 01. 04. 2008 20:45

↑ jelena:Zdravím , vezmeme to čistě jako matematický příklad :

jelena · 04. 10. 2008 11:42

Zdravim vas :-)

obnovuji tento problem a nejdriv srdecne pozdravim Ivanu, ktera ma moc povinnosti, ale urcite na nas mysli :-) A preji ji, aby se vse darilo :-)

Jeste prosba na mistni fyziky - Ivana to vysvetlila moc prehledne, ale obcas mi zavrta hlavou - z ceho prameni ta moje nejstota pri reseni tohoto zadani. Pokud by nekdo mel cas, budu vdecna, kdyz to nekdo okomentuje nebo da nejaky odkaz (v libovolne reci i stredoswedsky :-)

Dekuji a zdravim :-)

Pavel Brožek

Zdravím, pokusím se to trochu víc rozebrat. Nejprve předpoklady (nevím, co myslel Lucker absolutním klidem, protože pokud nebude síla působit po nějaké dráze, práce nebude):

1) Saně jsou kvádr :-)
2) Zajímá nás pouze situace, kdy už saně jsou v pohybu a my je silou pouze udržujeme v rovnoměrném přímočarém pohybu - jinak by se kvůli tření zpomalovaly. (Nemusím tedy řešit statické tření.)
3) Silou působíme v těžišti saní.

Tlaková síla, kterou působí podložka na saně, není na celé dotykové ploše stejná z důvodu nutnosti kompenzace momentu třecí síly. Vepředu ve směru pohybu bude tlaková síla mezi podložkou a saněmi větší a vzadu menší. Pokud bychom ale vyintegrovali třecí sílu přes dotykovou plochu, tak díky přímé úměrnosti mezi třecí silou a tlakovou sílou dostaneme stejný výsledek jako pro rovnoměrné rozložení síly na podložku při stejné celkové tlakové síle. Dále tedy nebudu vůbec řešit moment sil, ale třecí síly a tlakové síly nahradím silami, které působí v těžišti saní. Na požádání můžu rozepsat podrobněji.

Obrázek:

Nebudu rozebírat zvláš? případ tahání a tlačení, liší se pouze úhlem alfa - při tahání je kladný, při tlačení nulový nebo záporný.

Na obrázku jsou znázorněny působící síly (značím tučně vektory, běžným písmem jejich velikosti):
$\mathbf{F}$ - síla, kterou táhneme/tlačíme
$\mathbf{F_g}$ - gravitační síla
$\mathbf{R}$ - reakční síla podložky (vazbová síla)
$\mathbf{F_t}$ - třecí síla

Protože výsledkem má být pohyb rovnoměrný přímočarý, musí platit

$\mathbf{F}+\mathbf{F_g}+\mathbf{R}+\mathbf{F_t}=0$

Rozložíme-li vektory do vodorovného a svislého směru, dostaneme soustavu

$F\cos\alpha-F_t=0\qquad(1)\nl F\sin\alpha-F_g+R=0\qquad(2)$

Pokud koeficient smykového tření označíme $f$ , můžeme velikost třecí síly vyjádřit pomocí velikosti vazbové síly:

$F_t=fR\qquad(3)$

Máme tak soustavu tří rovnic (1), (2) a (3) pro tři neznámé $F,\,F_t,\,R$ .

Gravitační sílu dále rozepíšu podle $F_g=mg$ . Ze soustavy rovnic vypočítáme $F$ (např. do (1) dosadíme za $F_t$ z (3), potom od (1) odečteme f násobek (2), z toho vyjádříme F):

$F=\frac{fmg}{\cos\alpha+f\cdot\sin\alpha}\qquad(4)$

Z původní rovnice (1) pak dostaneme

$F_t=\frac{fmg}{1+f\cdot\tan{\alpha}}$

Práce vykonaná po vodorovné dráze s je

$W=\int_0^s{\mathbf{F}}\cdot\textrm{d}\mathbf{s}=\int_0^s F\cos{\alpha}\,\textrm{d}s=\int_0^s F_t\,\textrm{d}s=sF_t$

Dosadíme-li za $F_t$ , získáme

$W=\frac{sfmg}{1+f\cdot\tan{\alpha}}$

Pro představu je na následujícím obrázku znázorněna funkce $W(\alpha)$ a $F(\alpha)$ pro reálné hodnoty $s=10\,\textrm{m}$ , $f=0,1$ , $m=5\,\textrm{kg}$ a $g=10\,\textrm{ms}^{-2}$ a pro úhel $\alpha\in$-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$$ (pouze úhly, kdy táhneme doprava).

Z grafů je pro kladné hodnoty $\alpha$ vidět, že čím větší úhel zvolíme, tím menší práci vykonáme po dané dráze. Z derivace výrazu pro sílu podle $\alpha$ (rovnice (4)) zjistíme úhel, při kterém je síla minimální.

$\alpha_{\textrm{min}}=\arctan f,\qquad F_{\textrm{min}}=\frac{mgf}{\sqrt{1+f^2}}$

Pro menší práci musíme působit větší silou. Abychom vykonali nulovou práci, musíme saně odnést :-) Pro člověka asi bude lepší vykonat nějakou tu práci a saně odtáhnout (nemyslím si, že úhel $\alpha_{\textrm{min}}$ bude pro člověka vždy nejlepší, např. pro použitou hodnotu $f=0,1$ je $\alpha_{\textrm{min}}\approx6^{\circ}$ ). Asi by bylo potřeba vymyslet nějaký model a popsat závislost vyčerpání člověka v závislosti na síle (včetně jejího směru) kterou působí po nějakou dobu.

Pro záporné hodnoty úhlu se zvětšuje jak práce, kterou vykonáme, tak síla, kterou působíme. Pokud se bude úhel blížit ke kritickému úhlu $\alpha_k$ , tak budeme saně tlačit k zemi takovou silou, že třecí síla bude velmi velká, a bude nutné použít velmi velkou sílu, aby vodorovný průmět síly postačoval k vyrovnání třecí síly. Pro hodnoty $\alpha\leq\alpha_k$ dostáváme nesmyslné výsledky (do jejich interpretace se nehodlám pouštět). Dá se snadno vypočítat (např. z definičního oboru funkční závislosti síly na úhlu v rovnici (4)), že

$\alpha_k=\arctan{-\frac1f}$

Po vodorovné ploše je tedy lepší saně tahat než tlačit, a to z důvodu, že při tlačení je obvykle úhel $\alpha$ záporný nebo nulový a při tažení je kladný. Rozebral jsem ale pouze případ rovnoměrného pohybu, tedy bez žádného zrychlení. Ještě dodám, že zanedbání tření zde není možné, protože by pak nebylo nutné působit žádnou silou a nekonala by se práce. Tak zadání zřejmě nebylo myšleno, takže tření uvažovat musíme.

Model, který uvedla Ivana v příspěvku z 1.4.2008 podle mě není příliš vhodný, protože odpovídá tomu, že na saně působíme danou silou a není zaručeno, že pohyb nebude zrychlený. V případě zrychleného pohybu by se ale vypočítaná práce přeměňovala i na kinetickou energii. Příklad ale spíše chápu tak, že nás zajímá práce co se spotřebuje na tření a ne na zrychlení.

jelena · 05. 10. 2008 00:32

↑ BrozekP:

Zdravim a dekuji moooc :-)

to muselo zabrat casu to vsechno podrobne rozepsat, a doufam, ze jsem to pochopila :-)

Obcas totiz narazim na ulohu, ktera se muze objevit v nejakem testu nebo na prijimackach (treba na prijimackach u budoucich mediku - pokud jste nekdo videli - jsou na prvni pohled srozumitelne a nejsou tezke, obcas nad tim zacnu badat a a ziskam nejakou nejstotu :-(

To si ovsem pri priprave nemohu dovolit, nebot prave tu jistotu potrebuji, a dokonce tolik jistoty, aby ji ziskala i osoba pripravovana (zatim se to dari, mam to stesti, ze temer kazda "osoba pripravovana" ma zajem a chut spolupracovat, a takto moje mile osoby srdecne zdravim take :-)

Tak ted budu nabizet i kousek jistoty od kolegy, jeste jednou moc a moc dekuji :-)

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2008 21:15

Problém se saněmi

#2 31. 03. 2008 21:49

Re: Problém se saněmi

#3 31. 03. 2008 21:54

Re: Problém se saněmi

#4 31. 03. 2008 21:58

Re: Problém se saněmi

#5 31. 03. 2008 22:00

Re: Problém se saněmi

#6 31. 03. 2008 22:04

Re: Problém se saněmi

#7 31. 03. 2008 22:11

Re: Problém se saněmi

#8 31. 03. 2008 22:18

Re: Problém se saněmi

#9 31. 03. 2008 22:22

Re: Problém se saněmi

#10 31. 03. 2008 22:35

Re: Problém se saněmi

#11 31. 03. 2008 22:53

Re: Problém se saněmi

#12 31. 03. 2008 23:01

Re: Problém se saněmi

#13 01. 04. 2008 12:49

Re: Problém se saněmi

#14 01. 04. 2008 20:45

Re: Problém se saněmi

#15 04. 10. 2008 11:42

Re: Problém se saněmi

#16 04. 10. 2008 15:29 — Editoval BrozekP (04. 10. 2008 15:59)

Re: Problém se saněmi

#17 05. 10. 2008 00:32

Re: Problém se saněmi

Zápatí