Matematické Fórum

silviem · 29. 06. 2010 21:59

Dobrý den,
mám další příklad na derivaci funkce:
Vypočtěte první, druhou, třetí,....., až n-tou derivaci funkce a uveďte omezení pro x
a) f(x) = x+(n+1)*x^n
b) f(x) = 2*x+2*e^(2*x)
Začala jsem to takto řešit:

Nevím, jak u b) napsat n-tou derivaci a co znamená omezení pro x

gladiator01 · 29. 06. 2010 22:22

Já bych napsala, že n-tá derivace je $f^{(n)}(x)=2\cdot f^{(n-1)}(x)$

Protože
2. deriv. je $f^{(2)}(x)=8 \cdot e^{2x}$
3. deriv. je $f^{(3)}(x)=2\cdot 8 \cdot e^{2x}=16 \cdot e^{2x}$
4. deriv. je $f^{(4)}(x)=2 \cdot f^{(3)}(x)=32\cdot e^{2x}$
...

Může to tak být?

silviem · 29. 06. 2010 22:29

No, to jo... má to logiku. Děkují moc. Ještě by jsem potřebovala vysvětlit, co znamená to omezení pro x. Děkují předem

Stýv · 29. 06. 2010 23:31

a) máš od druhý derivace špatně. kolik že je derivace $x^{n-1}$ ?

stenly · 30. 06. 2010 08:26

↑ silviem:Ta druhá derivace je:(n-1)*n*(n+1)*x^(n-2)

jelena · 30. 06. 2010 09:42

↑ silviem:

Zdravím,

návrh řešení k zadání a) $f(x) = x+(n+1)x^n$ se mi nezdá (kolegovi Styvovi také ne).

Zkus si rozepsat například 4. derivaci (tedy pro n=4).

Řekla bych, že má být zápis pro n=1, jelikož je jiný, než pro n>1. Pro n>1 mi vychází obecný zápis pro n. derivaci jako

$f^{(n)}(x)=(n+1)!$ , děkuji za případnou opravu.

Omezení pro x - asi def. obor zadaných funkcí.

OT: nepřehlednutelné dávky pana D.

silviem · 30. 06. 2010 18:56

Dobrý den,
tak ten příklad jsem pochopila asi špatně, mám tu druhou variantu (dělala jsem prosím pomocí wolframalpha) tak snad ta derivace už bude pořádku.
Původná myšlenka - tá špatná byla, že jsem myslela, že x^((n-1)-(n-1)), že se rovná x^0, to asi nebude ono.
Omezení pro x jsem myslela že všechna R.
Slečna nebo paní Jelena má pravdu, jsou to dávky z prvního ročníku od pana D. Bohužel jeho skripta jsou napsané na (pro mně) vysoké úrovni,a tudíž nepochopitelné. Na druhé straně zas opsat od někoho řešení se mi také zrovna nezamlouvá a už když jsem se do toho dala tak ať z toho aspoň něco odnesu-naučím.

Prosím, nepochopila jsem kam mám doplnit n=1 a n=4, do první a čtvrtý derivace?

A prosila bych vysvětlit ten obecný zápis $f^{(n)}(x)=(n+1)!$ . Mně to (jako pro neznalce) připadá jenom, když by n=1
Děkují všem

jelena · 30. 06. 2010 19:30

↑ silviem:

vycházela jsem z toho, že pro n=1 zápis funkce bude $f(x) = x+2x$ a výsledek derivování (bude to jen 1. derivace) bude $f^{\prime}(x)=3$

pro n větší 1 (derivace řadu vyššího než 1) z výsledku derivování bude "mizet" derivace prvního x v zápisu a bude zůstavat pouze derivace 2. časti (kde je n), proto jsem navrhovala zkusit vypočíst derivaci například pro n=4, tedy 4. derivaci takové funkce: $f(x) = x+5x^4$

tento zápis (s faktorialem) mi vznikl jako obecný zápis pro každé n větší 1 $f^{(n)}(x)=(n+1)!$ . Doufám, že matematické autority to zkontroluji a zkritizuji (případně). děkuji

---------------------------------------------------------------------------------------

Co se tyče dávek pro pana D. - začala v roce 2007 zde, na fóru, řešit SandraCh, myslim, že řešila a zpracovavala velmi poctivě a samostatně, ovšem při obhajobě dávek pořad naražela na nějaké nepřesnosti. Pan D. je velmi důsledný :-)

Materiály nemá těžké, ale měla jsem pocit, že v dávkách je vyžadováno více, než v materiálech. Pro úplné drobnosti se muselo hodně hledět do klasiky - třeba do Rektoryse jsem dost hleděla (na definice, vyžadoval přesnost).

Tak jsme to nakonec ještě konzultovali přes jiné komunikační prostředky (i s kolegou Kondrem), nakonec se to odevzdalo.

Zodpovědně potvrzuji, že představitele vášeho oboru hodně řešili samostatně, zaznamenala jsem jen jednu vyjimku, však se s kolegou nějak nepokračovalo, neb tu samostatnost moc nepochopil.

Momentálně se omlouvám, mám v plánu něco jiného - věřím, že někdo z kolegů dohledne. Děkuji.

silviem · 30. 06. 2010 19:52

↑ jelena: I tak moc děkují.

silviem · 01. 07. 2010 22:29

↑ silviem:
Dobrý večer,
nechci Vás nějak obtěžovat, jenom jsem rozmýšlela o tom zápisu $f^{(n)}(x)=(n+1)!$
Když za n jsem dosadila do třetí derivace 3 tak mám: 1*2*3*4 (čtyřku jako n+1) krát x^0 což je jedna
Když jsem dosadila n=4 do čtvrté derivace tak mám: 1*2*3*4* 5 (pětku zase jako n+1) krát 1
když jsem dosadila n=5 do páté derivace tak mám : 1*2*3*4*5*6 (jako n+1) krát 1
A už jsem zistila, že ten výkřičník je faktoriál, a že je to součin všech celých kladných čísel
To znamená, že jste to 1*2*3* ..... *n vyjádřila výkřičníkem.
Snad to myslím dobře.
Byla by jsem ráda o Váš souhlas nebo nesouhlas.
Děkují moc

silviem

↑ jelena:
Dobrý večer,
nechci Vás nějak obtěžovat, jenom jsem rozmýšlela o tom zápisu (n+1) !
Když za n jsem dosadila do třetí derivace 3 tak mám: 1*2*3*4 (čtyřku jako n+1) krát x^0 což je jedna
Když jsem dosadila n=4 do čtvrté derivace tak mám: 1*2*3*4* 5 (pětku zase jako n+1) krát 1
když jsem dosadila n=5 do páté derivace tak mám : 1*2*3*4*5*6 (jako n+1) krát 1
A už jsem zistila, že ten výkřičník je faktoriál, a že je to součin všech celých kladných čísel
To znamená, že jste to 1*2*3* ..... *n vyjádřila výkřičníkem.
Snad to myslím dobře.
Byla by jsem ráda o Váš souhlas nebo nesouhlas.
Děkují moc

(Omlouvám se reagovala jsem sama sobě)

jelena · 02. 07. 2010 00:25

↑ silviem:

Děkuji.

zdá se mi to v pořádku a správně pochopeno, ale poprosila jsem autoritu váženého kolegu Rumburaka, aby toto řešení překontroloval - hlavně po formální stránce, co se týče různých zápisů pro n=1 a n větší 1.

1*2*3* ..... *n

spiš 1*2*3* ..... *n*(n+1)=(n+1)!

Ano, výkřičník je také správně pochopen

------------------------------

Tak až dočte doporučenou autorku...

Rumburak · 02. 07. 2010 10:58

↑ silviem:
V souladu s přáním vážené a milé :-) kolegyně Jeleny se to pokusím shrnout.

Jest tedy dána funkce $f(x)\,:= \,x \,+\, (n+1)x^n$ .

Máme-li vypočítat její "první, druhou, třetí,....., až n-tou" derivaci, plyne z toho předpoklad, že n je přirozené číslo splňující $n \,\ge\, 3$ .
Funkce f je při tom polynomem n-tého stupně, s jehož definičním oborem není problém: v reálné analýze za něj bereme množinu všech
reálných čísel. Jak známo, polynom má v celém svém definičním oboru derivace všech řádů.

Chceme tedy (přesněji: máme za úkol) určit funkce $f^{(k)}$ , kde postupně $k\, =\, 1,\, 2,\, ...,\, n$ , při čemž symbol $f^{(k)}$ představuje
derivaci k-tého řádu (krátce: k-tou derivaci) funkce f. Parametry n, k je třeba při tom nepoplést.

Pro k = 1 zřejmě
$f^{(1)}(x)\,=\,f'(x)\,= \,$x \,+\, (n+1)x^n$'\,=\,(x)'\,+\,(n+1)(x^n)'\,=\,1 \,+\,(n+1)nx^{n-1}$
(použili jsme m.j. dvě známé věty o aritmetice derivací),

pro k = 2 (už stručněji)
$f^{(2)}(x)\,=\,$f'(x)$'\,= \,$1 \,+\,(n+1)nx^{n-1}$'\,=\,(n+1)n(n-1)x^{n-2}\,=\,\frac{(n+1)\,!}{(n-2)\,!}\,x^{n-2}$
(použili jsme též, že derivace konstantní funkce je 0).

Tím, že tato funkce již není součtem jiných funkcí, se další derivování ještě o něco zjednoduší.

Celkem pro k = 2, ..., n tak zřejmě dostáváme
$f^{(k)}(x)\,=\,\frac{(n+1)\,!}{(n-k)\,!}\,x^{n-k}$ ,
formélně korektní důkaz by se provedl indukcí.

Speciálně pro k = n je tedy
$f^{(n)}(x)\,=\,\frac{(n+1)\,!}{(n-n)\,!}\,x^{n-n}\,=\,(n+1)\,!$ .
Tímto jsme dospěli ke konstantní funkci, jejím derivováním bychom už dostali 0.