Matematické Fórum

jarrro · 05. 07. 2010 13:09 — Editoval jarrro (02. 01. 2015 20:53)

ahojte dá sa súčet $S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\mathrm{inft}{$n$}}}$ kde
$\mathrm{inft}{$x$}=\lim_{n\to \infty}{f_n{$x$}}\nl f_1{$x$}=x\nl f_{n+1}{$x$}=f_1{$x$}^{f_{n}{$x$}}$
pekne vyjadriť? pekne= pomocou konečného počtu elementárnych funkcií a k nim inverzných funkcií a známych konštánt a operácií ščítania odčítania násobenia delenia umocňovania odmocňovania

Marian · 05. 07. 2010 13:51 — Editoval Marian (05. 07. 2010 13:51)

↑ jarrro:

Problém mi není příliš jasný. Trochu podiskutujme o hodnotách funkce inft.

Zřejmě platí (z rekurzivní definice funkcí $f_i(x)$ ) vztahy

$f_1(x):=x,\; f_2(x):=(f_1(x))^{f_1(x)}=x^x,\; f_3(x):=(f_1(x))^{f_2(x)}=x^{x^x},\,\dots\quad\text{etc.}$

Tedy, podle Hooshmandova označení, máme celkem

$f_n(x)=\mathrm{uxp}_x(n).$

Dále podle definice funkce $\mathrm{inft}\, (x)$ platí

$\mathrm{inft}\, (x):=\lim_{n\to\infty}\mathrm{uxp}_x(n).$

Proto je

$\mathrm{inft}(1)=\lim_{n\to\infty}\mathrm{uxp}_1(n)=\lim_{n\to\infty}1=1.$

Podobně dále, tj.

$\mathrm{inft}(2)=\lim_{n\to\infty}\mathrm{uxp}_2(n)=+\infty .$

Protože $\mathrm{inft}\,(x)$ je jistě rostoucí funkce proměnné x (popř. diskrétní proměné n), je zřejmé, že pro všechna $n\ge 2$ platí $\mathrm{inft}\,(n)= +\infty$ . Otázka je, jak nyní tvořit převrácené hodnoty těchto výrazů a poté sčítat v uvedené nekonečné řadě.

Snad jsem pochopil celou věc správně. Když tak mě oprav.

jarrro · 05. 07. 2010 14:04 — Editoval jarrro (05. 07. 2010 14:06)

↑ Marian:aha čiže konečná limita existuje len pre $x\in \left(e^{-e};e^{\frac{1}{e}}\right)$ ?

Marian · 05. 07. 2010 14:08 — Editoval Marian (05. 07. 2010 14:09)

↑ jarrro:

Prostuduj tento příspěvek.

edit.

jarrro · 05. 07. 2010 14:13 — Editoval jarrro (02. 01. 2015 20:55)

↑ Marian:díky a keby sme úlohu zmenili na $S=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{f_k{$n$}}}$ kde f_k sú tie funkcie čo som napísal ?

Marian · 05. 07. 2010 16:07

↑ jarrro:

V tomto případě budu skeptický. Řada je sice konvergentní pro libovolnou hodotu parametru $k\ge 2$ (pro $k=1$ se jedná o divergentní harmonickou řadu), ale žádný použitelný výsledek vedoucí k sečtení (ve smyslu, který uvádíš) jsem ještě neviděl. Co se týče iracionality a transcendence hodnot součtu, jsou již známy výsledky.

jarrro · 05. 07. 2010 16:41 — Editoval jarrro (02. 01. 2015 20:56)

↑ Marian:díky ešte mám jednu otázku konverguje
$\int\limits_{\mathrm{e}^{-\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}}{\mathrm{inft}{\left(x\right)}\mathrm{d}x}$ ?

lukaszh · 05. 07. 2010 17:03

↑ jarrro:

OT: Je k tomu nejaká motivácia? Motivačná úloha atď.

jarrro · 05. 07. 2010 17:05

Nie. Čisto zo zaujímavosti. Prečo?

Marian · 05. 07. 2010 17:37 — Editoval Marian (05. 07. 2010 20:03)

↑ jarrro: Neodpovím na otázku, protože jsem ji nestudoval (momentálně namám tolik času). Ale můžeš pro zajímavost zkusit číst na fóru věnovanému tetraci zde. Je tam mnoho zajímavého.

jarrro · 05. 07. 2010 18:01

↑ Marian:ďakujem prečítam si

Matematické Fórum

#1 05. 07. 2010 13:09 — Editoval jarrro (02. 01. 2015 20:53)

súčet rady

#2 05. 07. 2010 13:51 — Editoval Marian (05. 07. 2010 13:51)

Re: súčet rady

#3 05. 07. 2010 14:04 — Editoval jarrro (05. 07. 2010 14:06)

Re: súčet rady

#4 05. 07. 2010 14:08 — Editoval Marian (05. 07. 2010 14:09)

Re: súčet rady

#5 05. 07. 2010 14:13 — Editoval jarrro (02. 01. 2015 20:55)

Re: súčet rady

#6 05. 07. 2010 16:07

Re: súčet rady

#7 05. 07. 2010 16:41 — Editoval jarrro (02. 01. 2015 20:56)

Re: súčet rady

#8 05. 07. 2010 17:03

Re: súčet rady

#9 05. 07. 2010 17:05

Re: súčet rady

#10 05. 07. 2010 17:37 — Editoval Marian (05. 07. 2010 20:03)

Re: súčet rady

#11 05. 07. 2010 18:01

Re: súčet rady

Zápatí