Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Zajímavá limita (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
:
#2 27. 04. 2013 18:15
prejde limita do tvaru![$\lim_{t \to \infty}\frac{1}{\sqrt{t}}\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(1-\frac{1}{t}\bigg)^{n^2}=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{n=0}^{\infty}\bigg[\bigg(1-\frac{1}{t}\bigg)^{-t}\bigg]^{-\frac{n^2}{t}}$](/mathtex/96/961e725f7b59b2505c7ee9c9805c47a5.gif "kopírovat do textarea")
zvolíme tak, aby bola 
na celom 
spojite klesajúca (že také 
existuje je myslím celkom jasné)
a 
platí
existuje, nebude väčšia ako 
je 
a teda
ide zlomok 
k číslu 
zdola,
nemôže byť ani menšia ako #3 27. 04. 2013 22:15
- check_drummer
- Příspěvky: 5559
- Reputace: 106
Re: Zajímavá limita
↑ jardofpr:
Ahoj, není mi jasná rovnost:
Mohl bys ji prosím ozřejmit? Děkuji.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#4 27. 04. 2013 23:27 — Editoval jardofpr (27. 04. 2013 23:49)
Re: Zajímavá limita
ahoj ↑ check_drummer:
pravda, ten krok si asi žiada komentár
v detaile som si to predstavoval takto
a s ľubovoľným 
kde 
hrá úlohu kladnej konštanty, takže Offline
#5 30. 04. 2013 16:48
Re: Zajímavá limita
↑ jardofpr:
Zajímavá úvaha. Zkoušel jsem to kdysi jinak, ale později jsem si již k úloze nedostal.
Díky za námět.
Offline
#6 01. 05. 2013 19:15 — Editoval Pavel (01. 05. 2013 19:23)
Re: Zajímavá limita
↑ Marian:
Metodu, kterou použil ↑ jardofpr: lze zpřesnit užitím Eulerovy-Maclaurinovy sumační formule.
![$[1,n]$](/mathtex/2f/2f88e27f83abd263ec2f7fdb1c60a90d.gif "kopírovat do textarea")
, pak pro přirozené 
platí
je Bernoulliho polynom druhého stupně a 
je dolní celá část reálného čísla 
.
, kde 
je fixní reálné číslo. Pak 
. Proto ty úpravy s absolutní hodnotou.
na intervalu 
.
platí nerovnost 
. Stačí uvážit, že 
. Oba odhady jsou pak globálními extrémy funkce 
na intervalu 
.![$
\int_1^\infty f''(t)\cdot B_2(t-\lfloor t\rfloor)\mathrm dt&=\int_1^{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}} f''(t)\cdot B_2(t-\lfloor t\rfloor)\mathrm dt+\int_{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}^\infty f''(t)\cdot B_2(t-\lfloor t\rfloor)\mathrm dt\\
&\leq -\frac 1{12}\int_1^{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}} f''(t)\mathrm dt+\frac 16\int_{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}^\infty f''(t)\mathrm dt\\
&=-\frac 1{12}\left[f'(t)\right]_1^{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}+\frac 16\[f'(t)\]_{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}^\infty\\
&=-\frac 1{12}\left[x^{(t-1)^2}\cdot \ln x\cdot 2(t-1)\right]_1^{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}+\frac 16\[x^{(t-1)^2}\cdot \ln x\cdot 2(t-1)\]_{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}^\infty\\
&=\frac{\sqrt 2}{12}\,\mathrm e^{-\frac 12}\cdot\sqrt{|\ln x|}+\frac{\sqrt 2}{6}\,\mathrm e^{-\frac 12}\cdot \sqrt{|\ln x|}=\frac{\sqrt 2}{4}\,\mathrm e^{-\frac 12}\cdot\sqrt{|\ln x|}
$](/mathtex/02/02bd5e0d43fa30c9c60817a9317f08e3.gif "kopírovat do textarea")
![$
\int_1^\infty f''(t)\cdot B_2(t-\lfloor t\rfloor)\mathrm dt&=\int_1^{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}} f''(t)\cdot B_2(t-\lfloor t\rfloor)\mathrm dt+\int_{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}^\infty f''(t)\cdot B_2(t-\lfloor t\rfloor)\mathrm dt\\
&\geq \frac 1{6}\int_1^{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}} f''(t)\mathrm dt-\frac 1{12}\int_{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}^\infty f''(t)\mathrm dt\\
&=\frac 1{6}\left[f'(t)\right]_1^{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}-\frac 1{12}\[f'(t)\]_{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}^\infty\\
&=\frac 1{6}\left[x^{(t-1)^2}\cdot \ln x\cdot 2(t-1)\right]_1^{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}-\frac 1{12}\[x^{(t-1)^2}\cdot \ln x\cdot 2(t-1)\]_{1+\sqrt{\frac 1{2|\ln x|}}}^\infty\\
&=-\frac{\sqrt 2}{6}\,\mathrm e^{-\frac 12}\cdot\sqrt{|\ln x|}-\frac{\sqrt 2}{12}\,\mathrm e^{-\frac 12}\cdot \sqrt{|\ln x|}=-\frac{\sqrt 2}{4}\,\mathrm e^{-\frac 12}\cdot\sqrt{|\ln x|}
$](/mathtex/c0/c0a092cacbcbb1f4334d7728ed22e1fb.gif "kopírovat do textarea")
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Zajímavá limita (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)