Matematické Fórum

Lucinecka88 · 21. 08. 2010 15:53

Ahoj, strašně moc prosím o pomoc. Narazila jsem na pár úkolů a vůbec si s něma nevím rady. Děkuji za rady a nakopnutí.

1) Vypočtěte délky výšek v trojúhelníku ABC, je-li A=[3,7], B=[5,-1], C=[-3,5].
2)Určete velikost stran a vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je-li A=[7,-3], B=[1,8], C=[-4,3]

teolog · 21. 08. 2010 16:55

↑ Lucinecka88:
K příkladu 1):

Na výpočet délky výšky potřebujeme znát dva koncové body. Jedním bodem je vrchol, který známe ze zadání. Druhý bod je průsečík výšky a strany na výšku kolmé.
Pro výpočet průsečíku je nutné znát rovnice obou přímek (výšky a strany).
Rovnici strany dát dohromady ze zadaných bodů už umíte (viz Váš postup).
Rovnici výšky umíte rovněž (viz tento postup).

Takže pomocí již naučeného získáte dvě rovnice. Z nich spočítáte průsečík.
A pak už stačí jen použít vzorec na vzdálenost dvou bodů.

teolog · 21. 08. 2010 16:58

↑ Lucinecka88:
K příkladu 2):

Ze vzorce pro vzdálenost bodů snadno spočítáte délky stran.
Pro velikost vnitřních úhlů lze použít vzorec pro odchylku vektorů. Takže pro každou stranu je nutné najít směrový vektor a pro každou dvojici stran pomocí dvojice vektorů se úhel spočítá poměrně snadno.

Lucinecka88 · 22. 08. 2010 12:06

Děkuji
1) jsem udělala toto. Nevím Kterou rovnici mám použít do toho vzorce na vzdálenost.

jarrro · 22. 08. 2010 14:03

↑ Lucinecka88:nech $A=\left[x_1;y_1\right],B=\left[x_2;y_2\right]$ potom
$\left|AB\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}$

Lucinecka88 · 22. 08. 2010 14:12

↑ jarrro:

Nechápu jak to myslíš. Děkuji za vysvětlení.

Mr.Pinker · 22. 08. 2010 14:24

máš tam prá drobných chyb jen když to projedu tak letmo
$\vec{BC}=C-B=(-3-5;5-(-1))=(-8;6)$
a u toho třetí si nepočítala $\vec{CA}$ ale $\vec{AC}$

Mr.Pinker · 22. 08. 2010 14:27

ale podle mě jestli chceš vědět velikost výšky tak nemusíš znát ani její rovnici a stačí si jen spočítat vždy vzdálenost bodu od protější strany což by měla bejt velikost té výšky pokud se nemýlím

jarrro · 22. 08. 2010 14:41

↑ Lucinecka88:nekontroloval som to len som odpovedal na otázku akú rovnicu použiť na zistenie vzdialenosti dvoch bodov je to z pytagorovej vety odmocnina zo súčtu mocnín rozdielov súradníc a Mr.Pinker má pravdu pri výškach stací skúmať vzdialenosť protiľahlej strany od vrcholu

Lucinecka88 · 22. 08. 2010 17:49

Děkuji všem, ale ted jsem trochu v prdeli s tím jak to mám vypočítat.

jarrro · 22. 08. 2010 17:58

buď ako vzdialenosť vrcholov od strán alebo ako vzdialenosť prieniku výšky a strany od vrchola

Cheop · 23. 08. 2010 07:43 — Editoval Cheop (23. 08. 2010 08:08)

↑ Lucinecka88:
Výška na stranu a (v_a)
Směrový vektor přímky BC $\vec{BC}=C-B=(-3-5;5-(-1))=(-8;6)=(-4;\,3)$
Normálový vektor je (3; 4)
Rovnice přímky BC je:
$3x+4y+c=0$ dosazení bodu B dopočteme c
3*5-4+c=0
c=-11
Rovnice přímky BC je:
$3x+4y-11=0$
Velikost výšky v_a je vzdálenost bodu A od přímky BC
Obecně:
Máme-li přímku $ax+by+c=0$ a bod A (x_0; y_0) pak vzdálenost je:
$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ tedy:
$v_a=\frac{|3\cdot 3+4\cdot 7-11|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{26}{5}=5,2$
Obdobně vypočítáš délky ostatních 2 výšek
Obrázek

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

teolog · 23. 08. 2010 08:37

↑ Lucinecka88:
Jestli jsem Vás nějak svým návrhem postupu zmátl, tak se omlouvám. Je pravda, že postup od kolegů je rychlejší a jednodušší.
Mne jen při tom zadání napadlo využít toho, co jsme spolu počítali den před tím. Proto jsem ten postup volil jako průsečík dvou přímek.

Cheop · 23. 08. 2010 09:53 — Editoval Cheop (23. 08. 2010 13:36)

↑ Lucinecka88:
2)
Vzdálenost AB
$\rm{AB}=\sqrt{(7-1)^2+(-3-8)^2}=\sqrt{157}\dot=12,53$
Vzdálenost AC
$\rm{AC}=\sqrt{(7+4)^2+(-3-3)^2}=\sqrt{157}\dot=12,53$
Vzdálenost BC
$\rm{BC}=\sqrt{(1+4)^2+(8-3)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2\dot=7,07$
Výpočet úhlu alfa
$\vec{AC}=\vec{u}=((-4-7);(3+3))=(-11;\,6)$
$\vec{AB}=\vec{v}=((1-7);(8+3))=(-6;\,11)$
$\cos\,\alpha=\frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\nl\cos\,\alpha=\frac{|(-11)\cdot(-6)+6\cdot 11|}{\sqrt{(-11)^2+6^2}\cdot\sqrt{(-6)^2+11^2}}=\frac{132}{157}\quad\Rightarrow\nl\alpha\dot=32,78^\circ$
Ostatní 2 úhly stejným způsobem.
Nebo si všimnout, že trojúhelník je rovnoramenný, a proto úhly beta a gama mají stejnou velikost.
tedy:
$\beta=\gamma=\frac{180-\alpha}{2}=\frac{180-32,78}{2}\dot=73,61^\circ$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Lucinecka88

Děkuji všem za pomoc. omlouvám se že jsem tu dřív nenapsala,ale dneska jsem měla zkoušku z ekonomiky tak jsem se učila na to. Strašně moc děkuji za vysvětlení té 1 kratším způsobem. Ještě bych se chtěla zeptat, nemá se u 1 do té rovnice dosadit bod A, aby jsme zjistili to c?

Cheop · 23. 08. 2010 11:36 — Editoval Cheop (23. 08. 2010 11:37)

↑ Lucinecka88:
Ne, pro zjištění c musíš dosadit bod B nebo C, protože strana a (BC) prochází uvedenými body.
Výška je kolmá na tuto stranu a a ta prochází bodem A.
Velikost tévýšky vypočítáš jako vzdálenost bodu A od přímky BC
dle výše uvedeného vzorce.

jarrro · 23. 08. 2010 11:37

↑ Lucinecka88:ak myslíš priamku BC tak bod A na nej neleží

Lucinecka88 · 23. 08. 2010 11:40

↑ Cheop:
Aha, děkuji. Ted jsem zjistila že jsem to asi vždy počítala blbě.

↑ jarrro:
Ano, myslím.

Lucinecka88 · 23. 08. 2010 12:14

Mám tu 1 prosím správně vypočítané?
a=5,2
b=8,2
c=6,3

Cheop · 23. 08. 2010 12:39

↑ Lucinecka88:
Ano
viz

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Lucinecka88 · 23. 08. 2010 14:18

Děkuji všem za velkou pomoc.

Matematické Fórum

#1 21. 08. 2010 15:53

analytická geometrie 2.

#2 21. 08. 2010 16:55

Re: analytická geometrie 2.

#3 21. 08. 2010 16:58

Re: analytická geometrie 2.

#4 22. 08. 2010 12:06

Re: analytická geometrie 2.

#5 22. 08. 2010 14:03

Re: analytická geometrie 2.

#6 22. 08. 2010 14:12

Re: analytická geometrie 2.

#7 22. 08. 2010 14:24

Re: analytická geometrie 2.

#8 22. 08. 2010 14:27

Re: analytická geometrie 2.

#9 22. 08. 2010 14:41

Re: analytická geometrie 2.

#10 22. 08. 2010 17:49

Re: analytická geometrie 2.

#11 22. 08. 2010 17:58

Re: analytická geometrie 2.

#12 23. 08. 2010 07:43 — Editoval Cheop (23. 08. 2010 08:08)

Re: analytická geometrie 2.

#13 23. 08. 2010 08:37

Re: analytická geometrie 2.

#14 23. 08. 2010 09:53 — Editoval Cheop (23. 08. 2010 13:36)

Re: analytická geometrie 2.

#15 23. 08. 2010 11:23 — Editoval Lucinecka88 (23. 08. 2010 11:33)

Re: analytická geometrie 2.

#16 23. 08. 2010 11:36 — Editoval Cheop (23. 08. 2010 11:37)

Re: analytická geometrie 2.

#17 23. 08. 2010 11:37

Re: analytická geometrie 2.

#18 23. 08. 2010 11:40

Re: analytická geometrie 2.

#19 23. 08. 2010 12:14

Re: analytická geometrie 2.

#20 23. 08. 2010 12:39

Re: analytická geometrie 2.

#21 23. 08. 2010 14:18

Re: analytická geometrie 2.

Zápatí