Matematické Fórum

BakyX · 24. 08. 2010 23:41 — Editoval BakyX (31. 08. 2010 21:43)

Pri riešení geometrickej úlohy som narazil na tento výraz. Vyzerá dosť zložito, ale čo je pre mňa zaujímavé:

$\sqrt{2+\sqrt{3}}+sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}$

Samozrejme, dá sa to dokázať umocnením, ale "ak by som sa tváril, že nepoznám výsledok", tak ako sa jednoducho dopracovať k výsledku. Inak..Napadlo by vás tento výraz "ešte" upravovať. Autorom istej knihy (Prehľad matematiky 1) zrejme nie.

Spybot · 27. 08. 2010 01:26 — Editoval Spybot (27. 08. 2010 03:31)

Myslim si, ze takychto pripadov sa da najst cela kopa. Ale tiez by ma zaujimalo, ako by sa to dalo upravovat.

Honzc · 27. 08. 2010 10:37

↑ BakyX:
Třeba tímto postupem

Jenda358 · 28. 08. 2010 18:22

Mě napadlo zase tohle.
Udělat z toho rovnici.
Tvůj výraz = x
Pak jsem to umocnil na druhou. Levou stranu jsem upravil podle vzorce (a+b) na druhou a už to bylo. Pak jsem celou rovnici zase odmocnil a vyšlo mi, že x = sqrt(6)

Jan Jícha

↑ Jenda358:

Bakyx napsal(a):
Samozrejme, dá sa to dokázať umocnením, ale "ak by som sa tváril, že nepoznám výsledok", tak ako sa jednoducho dopracovať k výsledku. Inak..Napadlo by vás tento výraz "ešte" upravovať.

Pavel · 31. 08. 2010 19:49

↑ BakyX:

Představ si, že nevíš, čemu se rovná výraz $\sqrt{2+\sqrt{3}}+sqrt{2-\sqrt{3}}$ . Označím si ho např. A. Tzn.

$\sqrt{2+\sqrt{3}}+sqrt{2-\sqrt{3}}=A$

1. Vynásobím tuto identitu výrazem $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2+sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}}=A\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\nl 2+\sqrt3 + \sqrt{4-3}=A\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$
${\blue 3+\sqrt 3=A\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}}$

2. Nyní vynásobím původní identitu výrazem $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

$\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2-\sqrt 3}+(sqrt{2-\sqrt{3}})^2=A\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}\nl \sqrt{4-3} + 2-\sqrt 3=A\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$
${\blue 3-\sqrt 3=A\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}}$

3. Modré rovnosti sečtu

$6=A(\sqrt{2+\sqrt 3}+\sqrt{2-\sqrt 3})$

Jenže výraz v závorce není nic jiného než definice neznámé A, viz původní identita. Proto

$\red 6=A\cdot A\qquad\Rightarrow\qquad A=\sqrt 6$ .

BakyX · 31. 08. 2010 21:41 — Editoval BakyX (31. 08. 2010 21:42)

↑ Pavel:

Skutočne elegantné riešenie.

Pavel Brožek

↑ Pavel:, ↑ BakyX:

Ale vždyť to je v podstatě to samé, co navrhuje ↑ Jenda358: (položí se to rovno neznámé konstantě a upravuje se…). Jen si s tím Pavel víc hraje. Přímočařejší je to rovnou umocnit.

Např. $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$ můžeme upravit na jednodušší $1+\sqrt2$ . Buď si všimneme, že $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{1+2\sqrt{2}+(\sqrt2)^2}=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}$ nebo k tomu známe nějakou teorii, podle které se tohle řeší. Tu já neznám, ale myslím, že Kondr by o tom mohl něco říct.

Matematické Fórum

#1 24. 08. 2010 23:41 — Editoval BakyX (31. 08. 2010 21:43)

Úprava výrazu

#2 27. 08. 2010 01:26 — Editoval Spybot (27. 08. 2010 03:31)

Re: Úprava výrazu

#3 27. 08. 2010 10:37

Re: Úprava výrazu

#4 28. 08. 2010 18:22

Re: Úprava výrazu

#5 28. 08. 2010 18:26 — Editoval Honza Matika (28. 08. 2010 18:35)

Re: Úprava výrazu

Bakyx napsal(a):

#6 31. 08. 2010 19:49

Re: Úprava výrazu

#7 31. 08. 2010 21:41 — Editoval BakyX (31. 08. 2010 21:42)

Re: Úprava výrazu

#8 31. 08. 2010 22:14 — Editoval BrozekP (31. 08. 2010 22:15)

Re: Úprava výrazu

Zápatí