Matematické Fórum

Když tak ne do tabulky, ale do matice.

Můžeš použít 3 operace:
1. Prohodit dva řádky
2. Sečíst dva řádky
3. Vynásobit řádek nějakým číslem

Cílem je aby jsi pod hlavní diagonálou (tj. trojúhelník na levé straně) mněl samé nuly.
To co zbyde si pak zase sepíšeš do soustavy a postupným dosazováním vypočítáš jednotlivé proměnné. Protože, ale máš šest proměnných a pět rovnic budeš muset použít parametr (označíš si třeba z=t), soustava tedy bude mít nekonečně mnoho řešení.

Naznačím první krok:
   u + 7v +  6w -  2x +   y -  6z = 0
  2u + 8v +  9w -  9x + 11y +  2z = 0
  3u + 7v + 11w - 22x + 26y + 23z = 0
   u + 3v +  4w -  6x +  9y +  8z = 0
   u + 5v +  5w -  2x + 12y + 14z = 0

Soustavu přepíšu do matice:
(1   7   6    -2    1    -6) (*(-2)) (*(-3)) (*(-1)) (*(-1))         (1   7   6    -2    1    -6)
(2   8   9    -9   11    2)  <-+         |           |         |             (0  -6  -3    -5   9    14)
(3   7  11  -22  26   23) <----------+           |         |      ~    (0  -14 -7   -16  23  41)
(1   3   4    -6    9     8) <--------------------+        |              (0  -4   -2    -4    8  14)
(1   5   5    -2   12   14) <---------------------------+              (0  -2   -1    0     11 20)
1. řádek opíši a ostatní upravuji takto:
  1. řádek vynásobím -2 a přičtu ke 2 : (-2)*1 + 2   (-2)*7+8   (-2)*6+9   (-2)*(-2)-9    (-2)*1+11  (-2)*(-6)+2
  1. řádek vynásobím -3 a přištu ke 3.  (-3)*1 + 3  (-3)*7+7   (-3)*6+11   (-3)*(-2)-22    (-3)*1+26  (-3)*(-6)+23
  1. řádek vynásobím -1 a přištu ke 4.  (-1)*1 + 1  (-1)*7+3   (-1)*6+4    (-1)*(-2)-6    (-1)*1+9  (-1)*(-6)+8
  1. řádek vynásobím -1 a přištu ke 5.  (-1)*1 + 1  (-1)*7+5   (-1)*6+5    (-1)*(-2)-2    (-1)*1+12  (-1)*(-6)+14

Ve druhém kroku bych 4. řádek vynásobila (-1/4) a prohodila ho se druhým řádkem, tak budeš mít na diagonále zase 1 a bude se ti lépe kombinovat (i když ty dva zlomky co vzniknou nejsou zase moc dobré).

Teď zase první dva řádky opíšeš a pokračuješ s tvořením nul ve druhém sloupci.

...



--------
Jestli ti to pořád nebude jasné, tak se porozhlédni po fóru, je toho tu spousta nebo použij google pro nalezení teorie nebo detailněji popsaného příkladu.
Za případné numerické chyby nebo překlepy se předem omlouvám.

gladiator01 napsal(a):

Cílem je aby jsi pod hlavní diagonálou (tj. trojúhelník na levé straně) měl samé nuly.

Presneji, aby matice byla ve schodovitem tvaru, viz napr


1 1 1 1 1 1
0 0 0 2 2 1
0 0 0 2 1 1
0 0 0 1 4 6

ktera ma taky pod hlavni diagonalou nuly.

Já ti nějak nerozumím, co myslíš tím krácením?
Prostě musíš udělat takovou kombinaci řádků, aby ti na daném místě vznikla nula. Nemusíš to samozřejmě dělat stejně jako já, to záleží na tobě.

(1   7   6    -2    1    -6) (*(-2)) (*(-3)) (*(-1)) (*(-1))         (1   7   6    -2    1    -6)
(2   8   9    -9   11    2)  <-+         |           |         |             (0  -6  -3    -5   9    14) <------------
(3   7  11  -22  26   23) <----------+           |         |      ~    (0  -14 -7   -16  23  41)                 |   ~
(1   3   4    -6    9     8) <--------------------+        |              (0  -4   -2    -4    8  14) *(-1/4) <--
(1   5   5    -2   12   14) <---------------------------+              (0  -2   -1    0     11 20) 

Dobře druhý a třetí krok:
Jak jsem již psala 4. řádek vynásobím (-1/4) a prohodím s 2. řádkem

  (1    7   6    -2    1     -6 )                                   (1    7   6      -2    1     -6)   
  (0    1   1/2    1  -2  -7/2) (*(14)) (*(6)) (*(2))     (0    1   1/2    1  -2  -7/2)
~(0 -14   -7   -16  23   41)<-+         |           |      ~(0   0   0      -2  -5    -8 )
  (0  -6  -3      -5   9    14)<----------+           |        (0   0   0       1  -3    -7 )
  (0  -2   -1    0     11   20) <--------------------+      (0   0   0       2   7     13)

Čtvrtý a pátý, šestý krok
Prohodím 3. a 4. řádek;                                                                                    4. řádek vynásobím -1/11 pro zjednodušení a upravím 5.
  (1    7   6      -2    1     -6)              (1    7   6      -2    1     -6)                          (1    7   6      -2    1     -6 )     
  (0    1   1/2    1  -2   -7/2)              (0    1   1/2    1  -2   -7/2)                          (0    1   1/2    1   -2   -7/2)
~(0   0   0      -2  -5    -8 )<------|  ~ (0   0   0       1  -3     -7 ) (*(2)) (*(-2))    ~(0   0   0       1   -3     -7  )
  (0   0   0       1  -3     -7 )<------|     (0   0   0      -2  -5    -8 )  <-+        |           (0  0     0      0  -11   -22 )(*(-1/11))   (*(-13))
  (0   0   0       2   7      13)                (0   0   0       2   7      13) <---------+          (0  0     0      0   13    27 ) <----------------+


   (1    7   6      -2    1     -6 )   
   (0    1   1/2    1   -2   -7/2)
~(0   0   0       1   -3     -7  )
   (0   0   0       0    1     2 )
   (0   0   0      0    0      1)

Vypočítáme kořeny
    u    v   w       x    y      z
   (1    7   6      -2    1     -6 )   
   (0    1   1/2    1   -2   -7/2)
  (0   0   0       1   -3     -7  )
   (0   0   0       0    1      2 )
   (0   0   0      0    0       1)

Jak jsem již psala musíme zavést parametr t - např. tedy u=t, potom:
z=0
y=0
x=0
v=(1/5)t
w=-(2/5)t

Doufám, že to je dobře.

Zkus použít toto.